1636660669

Równanie bankierów

Gdy ustalona jest stała rata renty i jej wartość początkowa to w każdej chwili (po dokonaniu fc-tej płatności) można wycenić rentę. Wycena polega na obliczeniu jej wartości w chwili wyceny, a wiec wartość początkową aktualizujemy na daną chwilę i podobnie aktualizujemy wszystkie wypłacone raty. Różnica jest właśnie wyceną renty, a równanie, które pozwala ją obliczyć nazywa się równaniem bankierów:

WR = PV{ 1 + i)^k - Rsą = PV{ 1 + i)^k -    ⁺    ~ ¹

gdzie k jest momentem (numerem płatności) po którym następuje wycena renty (WR).

Zadanie 15. Malinowski planuje wykupić ubezpieczenie na życie, takie by przez 20 lat po jego śmierci rodzina otrzymywała (realne) 2 tyś. miesięcznie (pierwsza wypłata miesiąc po śmierci). Jaka kwota powinna zostać zgromadzona przed śmiercią Malinowskiego jeżeli można przyjąć, że kwota ta będzie oprocentowana według stopy nominalnej 10% rocznie?

[207249,24 zł]    □

Zadanie 16. Kwiatkowski inwestuje w biznes, który przynosi 8% rocznie, wpłacając 5 tys. rocznie. Jaki będzie jego majątek za 10 lat?

[72432,81]    □

Zadanie 17. Rodzice zbierają pieniądze na posag (wykształcenie) dziecka. Chcą wpłacać 800 zł co pół roku począwszy od szóstego miesiąca życia dziecka. Jaki będzie posag gdy dziecko osiągnie pełnoletność jeżeli wkład jest oprocentowany według rocznej stopy nominalnej równej 6% (kapitalizacja półroczna)? [50620,76 zł]    □

Zadanie 18. Czy wpłacając przez rok miesięcznie po 200 zł na rachunek oszczędnościowy oprocentowany nominalną stopą 12% z kapitalizacją kwartalną, będzie można kupić coś za 2500 zł?

[tak, zgromadzi się 2510,18]    D

Podstawowe zagadnienia renty

Wzory na wartość początkową i końcowa renty

PV = Roh|₄, FV = Rsn\i, FV = (1 + i)ⁿPV

wiążą cztery parametry: wartość początkową (końcową) renty, stała ratę, liczbę rat i stopę procentową (w okresie bazowym). Zatem można obliczyć każdą z tych wartości znając trzy pozostałe. Najłatwiejsze jest obliczenie wielkości raty gdy znana jest wartość początkowa lub końcowa renty, liczba rat i stopa procentowa:

_n PV    FV

R =-, R = -

5_S|i

Obliczenie liczby rat wymaga użycia logarytmów:

i (!-■?)

In (1 + i)

Ml+jg) ln (U

Natomiast nie da się wyprowadzić wzoru na obliczanie stopy procentowej, gdy rat będzie więcej niż 5 (dla 3 i 4 także jest to bardzo skomplikowane). Zatem w takim przypadku należy używać urządzeń technicznych (np. funkcja RATĘ w Excelu, ale można też „szukaj wyniku”).