top17

29

$8. Zwartość

Lemat. Jeśli X jest przestrzenią Hausdorjfa, a X₀<= X - jej zwartą podprzestrzenną,, to X₀ jest domknięta w X.

Dowód. Mamy wykazać, żc X\X_Q jest otwarty, czyli że każdy punkt p$X_n ma ^; otoczenie U rozłączne z X₀. Dla każdego xe X₍₎ weźmy rozłączne otwarte otoczenia U_x punktu p oraz V_x punktu x. Wtedy U_x jest rozłączne z V_xr\X₀ (choć

t

i

niekoniecznie z X₀). Wobec tego jeśli z otwartego pokrycia {K_xoJ>ć₀}_xtXo przestrzeni X₀ wybierzemy podpokrycie skończone:

(F_XinX₀)u...u(K_JUn*₀)-*_<ł,

to zbiór U:= U_Xlr\...rU_Xn będzie otoczeniem punktu p rozłącznym ze zbiorem X₀. □

* Ostatnią, lecz nie najmniej ważną rzeczą, jaką przedstawimy, będzie pewne '•sympatyczne twierdzenie o homeomorfizmach. Najpierw jednak krótka dygresja, Ustawiająca je w odpowiednim świetle. Po raz pierwszy z pojęciem izomorfizmu. ₁ spotykamy się w algebrze liniowej; aby wykazać, ż.e odwzorowanie liniowe/: V -* W Jest izomorfizmem, wystarczy sprawdzić jedynie bijektywność, gdyż liniowość/^-1: ^-♦Pjest już wtedy spełniona automatycznie. Tak samo jest np. dla grup i homomorfizmów grup. Po przyswojeniu sobie tego typu przykładów można być niemile zaskoczonym, odkrywając, żc istnieją inne dobre własności bijckcji. które nie ⁵ są zachowywane przy braniu odwrotności. Przykładem może być różniczkowalność: -x^x³ jest różniczkowalną bijekcją R na R, ale odwzorowanie odwrotne nie jest ^łróżniczkowalne w zerze:

>

e

i V