1109145313

3 Szeregi Fouriera.

Lemat 3.1 Niech f :< —a, a >—» R. Wówczas:

•    jeśli f jest nieparzysta to J f(x)dx = 0,

•    jeśli f jest parzysta to J f(x)dx = 2 • J f(x)dx Lemat 3.2 /, g :< —a, a >—* R. Wówczas:

•    jeśli obie funkcje f, g są jednocześnie parzyste lub jednocześnie nieparzyste to iloczyn fg jest funkcją parzystą,

•    jeśli jedna z funkcji jest parzysta a druga nieparzysta to iloczyn jest funkcją nieparzystą.

Problem. Czy można przedstawić dowolną funkcję / :< —7r, +7T >—* R jako sumę szeregu

f(^x) = y+ EK- cos(nz) + b„ ■ sin(ni))

Przypuśćmy, że zachodzi taka równość. Ile wynoszą wówczas współczynniki a^, 6* ? Całkujemy obustronnie ( na przedziale < —n, +7T >)

J f(x)dx = j (y + 'y'. («_n • cos(nx) + b_n ■ sin(nx)))dx = J y^z + 53    ' / cos(na;)dx + b_n- J sin (nx)dx'j

A zatem oq = — J f{x)dx.

Aby wyznaczyć a_m (m > 1) mnożymy obie strony równości przez cos(mx) i całkujemy:

J f(x) • cos(mx)dx — J y • cos(mx)dx+

Y. ^a„ J cos(nx) cos{mx)dx + b„ j sin(nx) cos(mx)dx'j = (*) Mają miejsce wzory:

•    f cos (mx)dx = 0,

• / cos(mx) sin(nx)dx = 0 (bo iloczyn jest funkcją nieparzystą),