1
Funkcja wymierna. UÅ‚amki proste
P (x)
Definicja FunkcjÄ™ wymiernÄ… , gdzie funkcje P (x) i Q(x)
Q(x)
sÄ… wielomianami, nazywamy:
" ułamkiem właściwym, jeżeli st.P (x) < st.Q(x),
" ułamkiem niewłaściwym, jeżeli st.P (x) st.Q(x).
Definicja (Ułamków prostych)
" FunkcjÄ™ wymiernÄ… postaci:
A
,
(ax + b)n
gdzie A, a, b są stałymi rzeczywistymi a n = 1, 2, . . . , nazywamy
ułamkiem prostym pierwszego rodzaju.
2
" FunkcjÄ™ wymiernÄ… postaci:
Ax + B
,
(ax2 + bx + c)n
gdzie A, B, a, b, c są stałymi rzeczywistymi, n = 1, 2, . . . a
ax2 + bx + c jest trójmianem nierozkładalnym (" < 0) ,
nazywamy ułamkiem prostym drugiego rodzaju.
Twierdzenie Każdą funkcję wymierną będącą ułamkiem właściwym
można przedstawić w postaci skończonej sumy ułamków prostych
pierwszego lub drugiego rodzaju.
3
Przykład Rozłóż funkcję wymierną na ułamki proste, nie obliczając
odpowiednich stałych:
1
" f(x) =
x3 (x - 4)
2x - 5
" f(x) =
(x + 4)2 (x - 2) (x2 + 1)
3x2 + 2
" f(x) =
x (3x + 2)2 (x2 + 8) (x2 + x + 1)2
4
Całkowanie ułamków prostych
" UÅ‚amek prosty pierwszego rodzaju - n = 1
1 1
dx = ln | ax + b | + C
ax + b a
" UÅ‚amek prosty pierwszego rodzaju - n = 2, 3, . . .
1 1 (ax + b)-n+1
dx = + C
(ax + b)n a -n + 1
5
" UÅ‚amek prosty drugiego rodzaju - n = 1 i A = 0
1
dx
ax2 + bx + c
Trójmian kwadratowy sprowadzamy do postaci kanonicznej a na-
stępnie, stosując odpowiednie podstawienie, całkę powyższą sprowa-
dzamy do całki
1
dt
1 + t2
Przykład
1
dx
x2 - 2x + 5
6
" UÅ‚amek prosty drugiego rodzaju - n = 1 i A = 0

Ax + B
dx
ax2 + bx + c
Całkę taką zapisujemy jako sumę, z odpowiednimi stałymi, całek
2ax + b 1
dx i dx
ax2 + bx + c ax2 + bx + c
a następnie znanymi już metodami obliczmy je.
Przykład
3x + 6
dx
x2 - 6x + 18
7
Całkowanie funcji wymiernych
8
Przykład
3x2 - 13x + 18
dx
x3 - 6x2 + 9x
2x + 4
dx
x3 + 4x
x3 + 2x2 - x + 1
dx
x2 - 1
9
Całkowanie funcji niewymiernych
ëÅ‚ öÅ‚


ìÅ‚ ÷Å‚
ax + b
ìÅ‚ ÷Å‚
n
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
R x , dx
ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
cx + d
ad - bc = 0

ax + b
Podstawienie: = tn
cx + d
Przykład
x2
"
dx
3
3 x + 2
10
Uwaga Jeżeli funkcja podcałkowa jest funkcją wymierną zmiennej
x i potęg wyrażenia
ax + b
cx + d
m
o wykładnikach postaci , to wykonujemy podstawienie
n
ax + b
= tN , przy czym N jest wspólnym mianownikiem ułam-
cx + d
m
ków .
n
Przykład
1
" " dx
3
x + x
11
ëÅ‚ öÅ‚


ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
R x , ax2 + bx + c dx
" = b2 - 4ac = 0

" Wykorzystywane wzory:
1
"
dx = arcsin x + C
1 - x2

1
"
dx = ln | x + x2 Ä… 1 | + C
x2 Ä… 1
12
" Obliczanie całki postaci:
1
"
dx
ax2 + bx + c
Przykład
1
"
dx
x2 - 4x
" Obliczanie całki postaci:
Ax + B
"
dx
ax2 + bx + c
Przykład
4x + 1
"
dx
8 - 2x - x2
13
Przykład


x2 + 1 dx
14
Całkowanie funcji trygonometrycznych

R ( sin x , cos x ) dx
x
" Podstawienie  uniwersalne : t = tg
2
2t 1 - t2
sin x = cos x =
1 + t2 1 + t2
2 dt
dx =
1 + t2
Przykład
1
dx
1 + sin x
15
" Podstawienie: t = sin x (można je skutecznie zastosować,
gdy funkcja wymierna R(u, v) jest nieparzysta ze względu na
v = cos x )
Przykład

cos5 x dx
" Podstawienie: t = cos x (można je skutecznie zastosować,
gdy funkcja wymierna R(u, v) jest nieparzysta ze względu na
u = sin x )
Przykład
1
dx
sin3 x
16
" Podstawienie: t = tg x
t2 t 1
sin2 x = sin x cos x = cos2 x =
1 + t2 1 + t2 1 + t2
dt
dx =
1 + t2
(można je skutecznie zastosować, gdy funkcja wymierna
R(sin x, cos x) = R"(sin2 x, cos2 x, sin x cos x) )
Przykład
1
4
dx tg x dx
1 + 2 cos2 x