1
Całka nieoznaczona
Definicja Założmy, że funkcja f jest funkcją rzeczywistą określoną
na pewnym przedziale. Każdą funkcję F , która spełnia w tym
przedziale warunek

F (x) = f(x),
nazywamy funkcjÄ… pierwotnÄ… do funkcji f .
Przykład Wyznacz funkcję pierwotną do funkcji
f(x) = cos x.
Ile różnych funkcji pierwotnych do funkcji f potrafisz wskazać?
2
Fakt
" Jeżeli F jest funkcją pierwotną funkcji f w pewnym przedziale,
to dla dowolnej stałej C " R funkcja F + C jest funkcją
pierwotnÄ… funkcji f .
" Zbiór wszystkich funkcji pierwotnych funkcji f , określonej w
pewnym przedziale, jest złożony z funkcji Ś = F + C , gdzie
C " R a F jest jakÄ…kolwiek funkcjÄ… pierwotnÄ… funkcji f .
3
Definicja (Całki nieoznaczonej)
Jeżeli F jest funkcją pierwotną funkcji f w pewnym przedziale, to
zbiór wszystkich funkcji pierotnych nazywamy całką nieoznaczoną
funkcji f i oznaczamy symbolem

f(x) dx.
Zatem

f(x) dx = F (x) + C ,
gdzie C " R a F jest jakÄ…kolwiek funkcjÄ… pierwotnÄ… funkcji f .
Funkcję f nazywamy funkcją podcałkową, a f(x) dx wyrażeniem
podcałkowym.
Twierdzenie Każda funkcja ciągła w pewnym przedziałe jest
całkowalna w tym przedziale (istnieje całka nieoznaczona tej funkcji).
4
Własności Całki nieoznaczonej
Załóżmy, że funkcje f i g są ciągłe w pewnym przedziale.
Wówczas
"
ëÅ‚ öÅ‚


ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
f(x) dx = f(x) ,
"

f (x) dx = f(x) + C ,
"

a · f(x) dx = a · f(x) dx , a " R,
"


f(x) + g(x) dx = f(x) dx + g(x) dx.
5
Całki nieoznaczone podstawowych funkcji elementarnych

0 dx = C

a dx = ax + C
xÄ…+1
xÄ… dx = + C Ä… = -1

Ä… + 1
1
dx = ln |x| + C
x

ex dx = ex + C
ax
ax dx = + C
ln a
6

sin x dx = - cos x + C

cos x dx = sin x + C
1
dx = tg x + C
cos2 x
1
dx = -ctg x + C
sin2 x
1
dx = arctg x + C
1 + x2
1
"
dx = arcsin x + C
1 - x2
7
Przykłady
-3x4 + 2x3 - 5x2 + 1
dx
x3
"

(2x2 - 3) x dx

( 5 cos x + 3 sin x) dx

2
ctg x dx
ëÅ‚ öÅ‚
4 1
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ " ÷Å‚
3ex - - dx
íÅ‚ Å‚Å‚
1 + x2
1 - x2
8
Całkowanie przez podstawianie
Twierdzenie Jeżeli F jest funkcją pierwotną funkcji f , to

f( Õ(x) ) Õ (x) dx = F ( Õ(x) ) + C,
gdzie o funkcjach f, Õ i Õ zakÅ‚adamy, że sÄ… ciÄ…gÅ‚e i funkcja
t = Õ(x) jest odwracalna.
Zatem dla t = Õ(x) mamy

f( Õ(x) ) Õ (x) dx = f( t ) dt = F ( t ) + C = F ( Õ(x) ) + C.
Przykład Oblicz całki:
9
f (x)
a) sin ax dx b) cos ax dx c) dx
f(x)
x
d) tg x dx e) dx f) (ax + b)n dx
1 + x2
1
g) sin2 x dx h) dx i) ecos x sin x dx
x ln x

arcsin x e2x
"
j) x3 4 - x4 dx k) dx l) dx
1 + e4x
1 - x2
10
Całkowanie przez części
Twierdzenie Załóżmy, że funkcje f i g są różniczkowalne w
pewnym przedziale. Wówczas

f(x) · g (x) dx = f(x) · g(x) - f (x) · g(x) dx.
Przykład Oblicz całki:

a) x e-x dx b) x2 cos 2x dx
5x + 1
c) ln x dx d) arctg x dx e) dx
sin2 x

f) eax sin bx dx g) eax cos bx dx