Prawa Newtona
Prawo pierwsze
Punkt materialny, na który nie działają żadne siły, pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym po
linii prostej.
Prawo drugie
Przyspieszenie a punktu materialnego jest proporcjonalne do siły P działającej na ten punkt i ma kierunek siły
ma = P , (1.16)
P
a
m
gdzie współczynnik proporcjonalności m jest masą punktu materialnego.
Prawo trzecie
Siły wzajemnego oddziaływania dwóch punktów materialnych są równe co do wartości, leżą na jednej prostej i są
przeciwnie skierowane (sÄ… wektorami przeciwnymi)
m
P12 2
m1 P21
P12 = -P21 , (1.17)
gdzie: P12 -siła, z jaką punkt o masie m1 działa na punkt o masie m2, P21 - siła, z jaką punkt o masie m2 działa na punkt o
masie m1.
Prof. Edmund Wittbrodt
Aksjomaty w mechanice
Aksjomatu, czyli pewnika, nie można udowodnić teoretycznie, ale można wykazać jego słuszność za pomocą
doświadczenia.
Aksjomat 1
Siła jest wektorem związanym z prostą.
Wynikają z tego następujące konsekwencje:
P
1) siłę można przesuwać wzdłuż linii jej działania
2) siły działające na punkt sumuje się wektorowo
P1 P1 + P2
P2
A
3) dwie siły przyłożone do ciała sztywnego równoważą się (ich wypadkowa jest równa zero), gdy leżą na jednej prostej, są
równe i przeciwnie skierowane
-P
Na podstawie tej cechy sformułowane zostało twierdzenie o dwóch siłach.
Twierdzenie
Dwie siły przyłożone do ciała sztywnego równoważą się,
P
gdy leżą na jednej prostej, są równe i przeciwnie skierowane.
Prof. Edmund Wittbrodt
4) działanie układu sił P1, P2 , ... nie zmieni się, gdy do układu przyłożymy w sposób dowolny dwie siły równe, leżące na
jednej prostej i przeciwnie skierowane (jest to tzw. dwójka zerowa sił)
P1
P2
P
-P
P3
Aksjomat 2
Każdemu działaniu towarzyszy równe co do wartości i przeciwnie skierowane wzdłuż tej samej prostej
przeciwdziałanie (wynika z trzeciego prawa Newtona)
PBA
PAB
B
A
PBA = -PAB,
gdzie: PAB - siła, z jaką ciało B działa na ciało A, PBA - siła, z jaką ciało A działa na ciało B.
Prof. Edmund Wittbrodt
Aksjomat 3
Każde ciało nieswobodne możemy oswobodzić od więzów, zastępując przy tym ich działanie odpowiednimi
reakcjami.
Dalej można rozpatrywać ciało jako swobodne, podlegające działaniu wszystkich sił, łącznie z reakcjami
P2
P1
P2
P1
RB
a"
RA
A
B
A B
gdzie: RA - siła, z jaką podłoże oddziałuje na ciało w punkcie A; RB - siła, z jaką podłoże oddziałuje na ciało w punkcie B.
Prof. Edmund Wittbrodt
Równoważne układy sił
Równoważnymi układami sił nazywamy takie układy, których skutki działania na ten sam obiekt są jednakowe. Jeżeli układ
sił da się zastąpić jedną siłą, to siłę tą nazywamy wypadkową.
Wypadkowa zbieżnego układu sił
W = P1 + P2
P1
Jeżeli: P1[P1x , P1y , P1z ]
P1 P1 P2[P2x , P2 y , P2z ]
A
W = P1 + P2
a"
a" to: W [Wx ,Wy ,Wz ]
O
O
O
B
gdzie: Wx = P1x + P2x
Wy = P1y + P2 y
P2
P2
P2
Wz = P1z + P2z
Prof. Edmund Wittbrodt
Wypadkowa równoległego układu sił
Przypadek 1
W = P1 + P2
A B P
A B -P
Pytanie: gdzie siłę wypadkową umieścić
(jaka jest jej linia działania)?
a"
P1
a"
P1
P2
P2
k2
k1
O
O
A B
A B
a" a"
a"
W2
k1 W1
W1 = P1 + P
( )
k2
k2
k1
W2 = P2 + -P
( )
O
A B
a"
W = W1 + W2 = P1 + P2
Prof. Edmund Wittbrodt
Przypadek 2
P2 P2
O
A
A
P
a"
a"
B
B
-P
P1
k1 P1
k2
W2
W2 = P2 + -P
( )
O
O
W1
A B
B
A
a"
a"
a"
k1
k1
W1 = P1 + P
( )
k2
k2
W = W1 + W2 = P1 + P2
O
A B
a"
Prof. Edmund Wittbrodt
Przypadek 3
-P
2 A
P
B
2
-P
Parę sił charakteryzuje moment pary sił (moment jej działania)
P
Układ ten nie daje się sprowadzić do wypadkowej. Nazywamy go parą sił.
Prof. Edmund Wittbrodt
Parę sił charakteryzuje moment pary sił, który obliczamy
MO = MO P + MO = r2 × P + r1 × = r2 - r1 × P = r × P , (1.19)
( ) (-P
) (-P
) ( )
MO
B
r2
Ä…
P
r = AB
O
h
-P
r1
A
gdzie: r1 = OA, r2 = OB , r = AB .
Wektor momentu MO pary sił ma kierunek prostopadły do płaszczyzny działania pary sił, a jego wartość jest równa
MO = AB P sinÄ… = P AB sinÄ… = Ph . (1.20)
W rozważaniach praktycznych, gdy wszystkie siły działają w jednej płaszczyz
nie, a tylko wektor momentu prostopadle
do tej płaszczyzny, będziemy często stosować pojęcie pary sił, nazywając ją potocznie momentem MO oznaczanym na
rysunku w płaszczyz
nie działania sił łukiem zakończonym strzałką, zgodnie z kierunkiem działania momentu.
MO
MO
Jeżeli moment  kręci przeciwnie do ruchu wskazówek zegara, to uważamy go za dodatni, jeżeli zgodnie  za ujemny.
Prof. Edmund Wittbrodt
Własności pary sił (PS):
1) rzut PS na dowolną oś jest równy zero
P
-P
P + -P = Px - Px = 0
( )
x
Px
Px
2) moment PS nie zależy od punktu, względem którego go liczymy i równy jest iloczynowi siły przez odległość między
siłami.
Istotnie, podstawiajÄ…c r2 = r1 + AB do (1.19) mamy
MO = (r1 + AB)× P - r1 × P = r1 × P + AB × P - r1 × P = AB × P ,
P
h
-P
skÄ…d  na podstawie (1.20)  otrzymujemy
MO = Ph. (1.21)
Prof. Edmund Wittbrodt
3) jedną PS możemy zastąpić inną, pod warunkiem, że ich momenty będą równe co do wartości i znaku.
-P2
P1
r1
r2
a"
P1
r2 = r1
-P1
P2
P2
Zatem, parę sił można zastąpić inną parą sił o momencie M = Pr.
-P2
r2
P2
r
P2 = P
r2
r -P
a"
P
a"
-P1
r1
r
P1 = P
P1
r1
Prof. Edmund Wittbrodt
4) PS można dowolnie przesuwać w płaszczyz
nie jej działania i równolegle względem tej płaszczyzny (moment pary sił jest
wektorem swobodnym). Własność ta wynika z własności 2.
5) dowolną liczbę PS, działających w jednej płaszczyz
nie, możemy zastąpić jedną PS, przy czym moment pary wypadkowej
musi być równy sumie momentów poszczególnych PS.
Przykładowo, jeżeli na ciało działa n par sił, których siły są równe P1, P2, ..., Pn , a ich ramiona r1, r2, ..., rn , to możemy dobrać
wypadkową parę sił, której siła ma wartość W, a ramię r.
r1 -P1
P1
rn
-Pn
-W
Pn
r
W
a"
r2
P2
-P2
Kolejne pary sił zastępujemy:
2
P1r1 = P1r
2
P2r2 = P2r
& & & & ..
2
Pnrn = Pnr ,
a po zsumowaniu otrzymujemy:
n n
2
ri = ( )r = Wr ,
"Pi "Pi
i=1 i=1
n n
ri
2
gdzie W = = .
"Pi "Pi
r
i=1 i=1
Prof. Edmund Wittbrodt
Przesuwanie siły w kierunku prostopadłym do linii jej działania
Układ złożony z siły przyłożonej w punkcie A zastępujemy układem równoważnym, złożonym z takiej samej siły
przyłożonej w punkcie B i jedną PS o momencie M = Pc .
P P
P
-P
c
a" a"
B
A M = P Å"c
A B B
A
P
Prof. Edmund Wittbrodt