48
c. ANALIZA DYNAMIKI
Analiza dynamiki dotyczy szeregów czasów:
- szereg czasowy  to ciąg wartości badanego zjawiska obserwowanego w kolejnych
jednostkach czasu
- szereg czasowy momentów  gdy zmienność cechy jest skokowa
- szereg czasowy okresów  gdy zmienność cechy jest ciągła
W analizie statystycznej posługujemy się liczbami absolutnymi i względnymi:
- wielkości absolutne  powstają przez zliczenie, mierzenie, wa\
enie i wycenę jed-
nostki; wyra\
ają one rozmiar badanego zjawiska; ka\
da liczba absolutna
jest liczbą mianowaną
- wielkości względne  powstają przez porównanie dwóch liczb ze sobą; wyra\
ają
one zatem rozmiary jednego zjawiska w porównaniu z rozmiarami drugie-
go zjawiska
Dopiero zestawienie liczb absolutnych i liczb względnych daje pełen obraz badanego
zjawiska.
Do liczb względnych zaliczamy wskaz
niki, wśród których wyró\
nić mo\
na:
- wskaz
niki struktury  określają jaką część całości przedstawiają wyró\
nione ele-
menty
- wskaz
niki natę\
enia  powstają przez porównanie dwóch ró\
nych (ale pozostają-
cych do siebie w logicznym związku) wielkości ze sobą, np. gdy porównu-
jemy liczbę ludności z powierzchnią  powstaje gęstość zaludnienia
- wskaz
niki dynamiki  powstają przez porównanie dwóch wielkości z ró\
nych
okresów; nale\
ą do nich mierniki dynamiki i indeksy dynamiki
Wskaz
niki dynamiki
a. Mierniki dynamiki
" Przyrost absolutny  najprostszy miernik dynamiki  jest to ró\
nica pomiędzy po-
ziomem zjawiska w okresie badanym a poziomem zjawiska w okresie przy-
jętym za podstawę porównania:
 49
- przyrost absolutny jednopodstawowy  ma jedną stałą podstawę po-
równania
Pab = Yn - Y0
- przyrost absolutny łańcuchowy  podstawa badania zmienia się z okre-
su na okres
Pab = Yn - Yn-1
gdzie: Yn  poziom zjawiska w okresie badanym
Y0  poziom zjawiska w okresie podstawowym (bazowym)
Yn-1  poziom zjawiska w okresie poprzedzającym okres
badany
- przyrosty te informują, o ile wzrósł lub zmalał poziom badanego zjawi-
ska w porównaniu z okresem przyjętym za podstawę badania
- przyrosty absolutne są wielkościami mianowanymi wyra\
anymi w tych
samych jednostkach, co badane zjawisko
- nadają się do porównywania ze zmianami innych zjawisk, które są wyra-
\
one w innych jednostkach miary
- zazwyczaj za podstawę badania wybiera się rok, który stanowił jakiś
przełom, przeobra\
enie w badanym zjawisku (np. w Polsce  1990r.); nie
wybiera się skrajnych wartości zjawiska
" Przyrost względny  jest to stosunek przyrostu absolutnego zjawiska do jego pozio-
mu w okresie przyjętym za podstawę porównania
- przyrost względny jednopodstawowy:
Yn - Y0
Pw =
Y0
- przyrost względny łańcuchowy:
Yn - Yn-1
Pw =
Yn-1
- jeśli przyrost względny pomno\
ymy przez 100, to otrzymamy tempo
przyrostu
 50
- Przyrosty mogą być wielkościami dodatnimi, ujemnymi lub równymi zero:
- jeśli przyrost jest dodatni oznacza to, \
e wystąpił wzrost badanego zjawi-
ska w okresie badanym w stosunku do okresu porównawczego,
- jeśli przyrost jest ujemny  nastąpiło zmniejszenie się zjawiska,
- jeśli przyrost jest równy zero  nie nastąpiły zmiany w poziomie zjawi-
ska.
b. Indeksy dynamiki
INDEKSY
INDYWIDUALNE AGREGATOWE
jednopodstawowe łańcuchowe wielkości wielkości
absolutnych stosunkowych
wartości ilości cen wydajności wykonania
pracy normy
L P L P
L  Laspeyres a
P  Paasche go jednopodstawowe jednopodstawowe
łańcuchowe łańcuchowe
INDEKS INDYWIDUALNY  jest to stosunek wielkości zjawiska w okresie badanym do wiel-
kości tego\
zjawiska w okresie przyjętym za podstawę badania.
Indeksy indywidualne są narzędziem wykorzystywanym przy analizie zjawisk jed-
norodnych.
" Indeks indywidualny jednopodstawowy:
Yn
i = �"100
Y0
" Indeks indywidualny łańcuchowy:
Yn
i = �"100
Yn-1
- Indeks jest wielkością niemianowaną i mo\
e być wyra\
ony w ułamku lub w procen-
tach:
 51
- je\
eli indeks przyjmuje wartości z przedziału (0;1) lub (0%;100%)
świadczy to o spadku wielkości zjawiska w okresie badanym w stosun-
ku do okresu porównawczego
- je\
eli indeks przyjmuje wartości powy\
ej 1 lub 100% świadczy to o
wzroście wielkości zjawiska w okresie badanym w stosunku do okresu
porównawczego
- je\
eli indeks = 1 lub = 100% oznacza to, \
e poziomy zjawiska w okre-
sie badanym i w okresie porównawczym są takie same
- zale\
ności: przyrost względny  indeks indywidualny:
Yn -Y0 Yn
in = Pw +1 lub in = Pw +100
Pw = = -1 �!
0 0
Y0 Y0
Yn - Yn-1 Yn
in = Pw +1 lub in = Pw +100
Pw = = -1 �!
n-1 n-1
Yn-1 Yn-1
" Średnioroczne tempo zmian  wzrost w dłu\
szych okresach czasu mo\
e być charak-
teryzowany za pomocą jednej liczby  średniorocznego tempa wzrostu;
W zale\
ności od posiadanych informacji mo\
na je obliczyć:
- opierając się na ekstremalnych wielkościach absolutnych (pierwszy i
ostatni z badanych okresów):
Yn
n-1
i = �"100
n n-1
Y1
- na podstawie indeksów łańcuchowych:
n
i = i1 �" i2 �"...�" in
n n-1
- na podstawie ekstremalnych indeksów o podstawie stałej przy zało\
eniu,
\
e pierwszy badany okres = 1 lub = 100:
in
0
n-1
i = �"100
n n-1
i0
- na podstawie tablic średniego tempa wzrostu
- Średnioroczne tempo zmian w czasie:
T = i -1 T = i -100
n n-1 n n-1
lub
 52
Przykład 1
Uczniowie LO w Polsce w latach 1990-1999:
ozn. ind. indywid. jednpodst. ozn. ind. indywid. łańcuchowych
Przyrost absolutny Przyrost względny Indeksy
Uczniowie
login
Lata
rok poprzedni
n-1
[tys.]
jednopod. łańc. jednopod. łańc. 1990 = 100
= 100
1990 359 0 0 100,0
�" �" �" �"
�" �" �" �"
�" �" �" �"
�" �" �" �"
1991 363 4 4 0,011 0,011 101,1 101,1 2,0048
1992 371 12 8 0,033 0,022 103,3 102,2 2,0095
1993 373 14 2 0,040 0,005 104,0 100,5 2,0022
1994 375 16 2 0,045 0,005 104,5 100,5 2,0022
1995 383 24 8 0,067 0,021 106,7 102,1 2,0090
1996 400 41 17 0,114 0,044 111,4 104,4 2,0187
1997 422 63 22 0,175 0,055 117,5 105,5 2,0233
1998 444 85 22 0,237 0,052 123,7 105,2 2,0220
1999 463 104 19 0,290 0,043 129,0 104,3 2,0183
Ł = 18,1097
Ł
Ł
Ł
- Pab (jednopod.)  w roku 1999 w stosunku do roku 1990 liczba uczniów LO w Polsce przyro-
sła o 104 tys.
- Pab (łańc.)  w roku 1999 w porównaniu z rokiem 1998 liczba uczniów LO w Polsce przyro-
sła o 19 tys.
- przyrosty absolutne są wielkościami dodatnimi  w ka\
dym następnym roku
liczba uczniów przyrastała
- in/o (jednopod.)  w roku 1999 w stosunku do roku 1990 liczba uczniów LO w Polsce wzrosła
o 29%.
- indeksy są dodatnie  od roku 1990 mo\
na zaobserwować nieprzerwany wzrost
liczby uczniów LO
- in/n-1 (łańc.)  w roku 1999 w porównaniu z rokiem 1998 liczba uczniów LO w Polsce wzro-
sła o 4,3%.
- z roku na rok tempo zmian było dodatnie  w granicach od 0,5% do 5,5%
- poniewa\
wszystkie tempa mają jednakowy znak, mo\
na obliczyć średnioroczne tempo
zmian (średnioroczne tempo zmian liczymy tylko, gdy dane zjawisko wykazuje jed-
nokierunkowe zmiany + lub - ):
Yn 463
9
n-1
I sposób: i = �"100 = �"100 = 102,86%
Y1 359
129
9
II sposób: i = �"100 = 102,87%
100
 53
18,1097
III sposób: logi = = 2,0121
9
korzystając z funkcji odwrotnej: i = 102,0121 = 102,86%
- średnioroczne tempo zmian informuje, \
e liczba uczniów LO w Polsce w latach 1990-
1999 wzrastała przeciętnie z roku na rok o 2,86%.
" Zmiana podstaw indeksów
- zamiana indeksów indywidualnych jednopodstawowych na indeksy jednopod-
stawowe o innej podstawie porównania:
zamiany tej dokonujemy dzieląc ka\
dy indeks jednopodstawowy przez indeks jedno-
podstawowy z tego okresu, który ma stanowić nową podstawę porównania i mno\
ąc
przez 100
Indeks: Indeks:
Lata Działania
1990 = 100 1995 = 100
1990 100,0 (100,0�117,9)�"100 84,8
1991 103,4 (103,4�117,9)�"100 87,7
1992 107,4 (107,4�117,9)�"100 91,1
1993 111,2 (111,2�117,9)�"100 94,3
1994 112,9 (112,9�117,9)�"100 95,8
1995 117,9 (117,9�117,9)�"100 100,0
1996 122,1 (122,1�117,9)�"100 103,6
1997 127,1 (127,1�117,9)�"100 107,8
1998 131,5 (131,5�117,9)�"100 111,5
1999 135,7 (135,7�117,9)�"100 115,1
- zamiana indeksów indywidualnych jednopodstawowych na indeksy łańcuchowe:
zamiany tej dokonujemy dzieląc ka\
dy indeks jednopodstawowy przez bezpośrednio
poprzedzający go i mno\
ąc przez 100
Indeks: Indeks:
Lata Działania
1990 = 100 rok poprzedni = 100
1990 100,0 �" �"
1991 103,4 (103,4�100,0)�"100 103,4
1992 107,4 (107,4�103,4)�"100 103,9
1993 111,2 (111,2�107,4)�"100 103,5
1994 112,9 (112,9�111,2)�"100 101,5
1995 117,9 (117,9�112,9)�"100 104,4
1996 122,1 (122,1�117,9)�"100 103,6
1997 127,1 (127,1�122,1)�"100 104,1
1998 131,5 (131,5�127,1)�"100 103,5
1999 135,7 (135,7�131,5)�"100 103,2
 54
- zamiana indeksów indywidualnych łańcuchowych na indeksy jednopodstawowe:
zamiany tej dokonujemy:
- dla okresów wcześniejszych od przyjętego za podstawę porównania  dzieląc dany
indeks jednopodstawowy przez odpowiadający mu indeks łańcuchowy i mno\
ąc
przez 100
- dla okresów póz
niejszych od przyjętego za podstawę porównania  mno\
ąc dany
indeks jednopodstawowy przez indeks łańcuchowy z okresu następnego i dzieląc
przez 100
Indeks: Indeks:
Lata Działania
rok poprzedni = 100 1994 = 100
1990 �" (78,4�130,0)�"100 60,4
�"
�"
�"
1991 130,0 (77,7�99,0)�"100 78,4
1992 99,0 (88,2�113,5)�"100 77,7
1993 113,5 (100,0�113,4)�"100 88,2
1994 113,4 100,0 100,0
1995 109,7 (100,0�"109,7) �100 109,7
1996 104,6 (109,7�"104,6) �100 114,7
1997 103,9 (114,7�"103,9) �100 119,2
1998 114,3 (119,2�"114,3) �100 136,2
1999 112,5 (136,2�"112,5) �100 153,2
INDEKSY AGRAGATOWE (WIELKOŚCI ABSOLUTNYCH)
Indeksy agregatowe są narzędziem wykorzystywanym przy analizie zjawisk niejed-
norodnych.
" Indeksy wartości
wartość = ilość � cena
p  cena
q  ilość
Indeks wartości jednopodstawowy: Indeks wartości łańcuchowy:
pnqn pnqn
" "
I = �"100 Iw = �"100
w
p0qo pn-1qn-1
" "
gdzie: qn  ilość w okresie badanym
q0  ilość w okresie podstawowym
pn  cena w okresie badanym
p0  cena w okresie podstawowym
qn-1  ilość w okresie poprzedzającym okres badany
pn-1  cena w okresie poprzedzającym okres badany
 55
" Indeksy ilości
Indeks ilości Laspeyres a: Indeks ilości Paasche go:
p0 pn
"qn "qn
L P
Iq = �"100 Iq = �"100
p0 pn
"q0 "q0
określa zmiany ilości przy zało\
eniu określa zmiany ilości przy zało\
eniu
stabilizacji cen z okresu podstawowego stabilizacji cen z okresu badanego
Indywidualny indeks ilości:
qn
iq =
q0
Formuła zastępcza indeksu ilości Laspeyres a (w postaci średniej arytmetycznej):
p0iq
"q0
L
Iq = �"100
p0
"q0
Formuła zastępcza indeksu ilości Paasche go (w postaci średniej harmonicznej):
pn
"qn
P
Iq = �"100
qn pn
"
iq
" Indeksy cen
Indeks cen Laspeyres a: Indeks cen Paasche go:
pn pn
"q0 "qn
L P
Iq = �"100 Iq = �"100
p0 p0
"q0 "qn
określa zmiany cen przy zało\
eniu określa zmiany cen przy zało\
eniu
stabilizacji ilości z okresu podst. stabilizacji ilości z okresu badanego
Indywidualny indeks cen:
pn
ip =
p0
 56
Formuła zastępcza indeksu cen Laspeyres a (w postaci średniej arytmetycznej):
p0ip
"q0
L
I = �"100
p
p0
"q0
Formuła zastępcza indeksu cen Paasche go (w postaci średniej harmonicznej):
pn
"qn
P
I = �"100
p
qn pn
"
ip
" Związki między indeksami
L P P L
Iw = Iq �" I Iw = Iq �" I
p p
Przykład 1
Wartość obrotów towarowych w przedsiębiorstwie Z w 1990r. była następująca: towaru A 
120 mln zł, towaru B  80 mln zł, towaru C  100 mln zł. Poza tym wiadomo, \
e cena towaru
A w 1990r. w porównaniu z 1985r. wzrosła o 10%, towaru B  zmalała o 5%, a towaru C 
wzrosła o 20%. A
ączna wartość obrotów w 1985r. wynosiła 240 mln zł. Scharakteryzuj dy-
namikę obrotów przedsiębiorstwa Z obliczając właściwe indeksy agregatowe.
pnqn
Wartość obrotów Zmiany cen w 1990r.
Artykuł ip
1990r. [mln zł] - pnqn (w stos. do 1985r.)
ip
A 120 wzrosła o 10% 1,10 109,09
B 80 zmalała o 5% 0,95 84,21
C 100 wzrosła o 20% 1,20 83,33
Ł 300 276,63
Ł
Ł
Ł
Ł p0 q0 = 240
Indeks wartości:
pnqn
300
"
I = �"100 = �"100 = 125%
w
p0qo 240
"
Odp. A
ączna wartość obrotów towarowych w roku 1990 była o 25% wy\
sza od wartości ob-
rotów w 1985r. Wzrost ten jest spowodowany zmianami ilości i cen.
 57
Indeks cen:
pn
Obliczamy indywidualne indeksy cen: ip =
p0
pn
300
"qn
P
Korzystamy z formuły zastępczej: I = �"100 = �"100 = 108,45%
p
qn pn
276,63
"
ip
Odp. Agregatowy indeks cen Paasche go informuje, \
e ceny badanych artykułów wzrosły w
roku 1990 w porównaniu z rokiem 1985 o 8,45%, przy zało\
eniu, \
e ilość artykułów w 1985r.
była taka sama, jak w roku 1990.
Indeks ilości:
Iw 125
L
Korzystamy ze związków między indeksami: Iq = �"100 = �"100 = 115,26%
P
I 108,45
p
Odp. Agregatowy indeks ilości Laspeyres a informuje, \
e ilość badanych artykułów wzrosła
w 1990r. w porównaniu z rokiem 1985 o 15,26%, przy zało\
eniu, \
e ceny artykułów w 1990r.
były takie same, jak w roku 1985.
Przykład 2
Wartość sprzeda\
y niektórych towarów niekonsumpcyjnych w handlu detalicznym w Polsce
w 1989r. wynosiła 21555 mln zł, natomiast wartość sprzeda\
y tych artykułów w 1986r. oraz
indywidualne indeksy cen tych towarów w omawianym okresie przedstawia poni\
sza tabela:
Wartość sprzeda\
y
p0q0ip
Artykuły
1986r. [mln zł]  p0q0 ip
maszyny i urządzenia rolnicze 2274 1,021 2321,75
nawozy sztuczne 2806 0,996 2794,78
pasze 2396 1,216 2913,54
Ł 7476 8030,07
Ł
Ł
Ł
Scharakteryzuj dynamikę zmian wartości, ilości i cen badanych artykułów w latach 1986 i
1989.
Ł pnqn = 21555
Indeks wartości:
pnqn
21555
"
I = �"100 = �"100 = 288,32%
w
p0qo 7476
"
Odp. A
ączna wartość sprzeda\
y tych artykułów w roku 1989 była o 188,32% wy\
sza od war-
tości obrotów w 1986r. Wzrost ten jest spowodowany zmianami ilości i cen badanych artyku-
łów.
 58
Indeks cen:
p0ip
8030,07
"q0
L
Korzystamy z formuły zastępczej: I = �"100 = �"100 = 107,42%
p
p0 7476
"q0
Odp. Agregatowy indeks cen Laspeyres a informuje, \
e ceny badanych artykułów wzrosły w
roku 1989 w porównaniu z rokiem 1986 o 7,42%, przy zało\
eniu, \
e ilość artykułów w 1989r.
była taka sama, jak w roku 1985.
Indeks ilości:
Iw 288,32
P
Korzystamy ze związków między indeksami: Iq = �"100 = �"100 = 268,4%
L
I 1087,42
p
Odp. Agregatowy indeks ilości Paasche go informuje, \
e ilość badanych artykułów wzrosła
w 1989r. w porównaniu z rokiem 1986 o 168,4%, przy zało\
eniu, \
e ceny artykułów w 1986r.
były takie same, jak w roku 1989.
Przykład 3
Obroty materiałami budowlanymi w pewnym sklepie w 1989r. kształtowały się następująco:
pnqn
Obroty 1989r.
Materiał ip
[mln zł]  p0q0 ip
A 0,4 0,95 0,42
B 0,8 1,20 0,67
C 0,2 1,00 0,20
Ł 1,4 1,29
Ł
Ł
Ł
Wiadomo ponadto, \
e ceny materiału A w 1989r. w porównaniu z 1987r. zmalały o 5%, mate-
riału B wzrosły o 20%, a materiału C pozostały bez zmian. A
ączne obroty w 1987r. wynosiły
1 mld zł. Jaki wpływ na dynamikę wartości sprzeda\
y tych materiałów miały ceny, a jaki
zmiany ilości zakupów?
Ł q0p0 = 1
Indeks wartości:
pnqn
1,4
"
I = �"100 = �"100 = 140%
w
p0qo 1
"
Odp. A
ączna wartość obrotów w roku 1989 w porównaniu z 1987r. wzrosła o 40%. Wzrost
ten był spowodowany zmianami ilości i cen.
 59
Indeks cen:
pn
1,4
"qn
P
Korzystamy z formuły zastępczej: I = �"100 = �"100 = 108,5%
p
qn pn
1,29
"
ip
Odp. Agregatowy indeks cen Paasche go informuje, \
e ceny materiałów budowlanych w
1989r. w porównaniu z 1987r. wzrosły o 8,5%, przy zało\
eniu, \
e ilość materiałów w 1987r.
była taka sama, jak w 1989r..
Indeks ilości:
Iw 140
L
Korzystamy ze związków między indeksami: Iq = �"100 = �"100 = 129%
P
I 108,5
p
Odp. Agregatowy indeks ilości Laspeyres a informuje, \
e ilość materiałów budowlanych w
1989r. w porównaniu z rokiem 1987 o 29%, przy zało\
eniu, \
e ceny materiałów w 1989r.
były takie same, jak w roku 1987.
Badanie tendencji rozwojowych
Tendencje rozwojowe pozwalają prognozować stan gospodarczy. Badanie szeregów czaso-
wych pozwala stwierdzić, \
e występują w nich pewne zmiany.
Zmiany te mo\
na podzielić na:
a. Wahania przypadkowe  są to nieregularne, nieperiodyczne zmiany w działalności go-
spodarczej wynikające z nieustannego występowania ró\
nego rodzaju zjawisk przy-
padkowych.
- Wahania przypadkowe trudno jest analizować i ująć w określony schemat. Wy-
nikają one z działania przyczyn nie związanych z istotą badanego zjawiska; np.
urodzaj spowodowany pogodą.
- Zbli\
one do wahań przypadkowych są wahania katastroficzne, spowodowane
kataklizmami, np. wojną, trzęsieniem ziemi, powodzią. Wywołują one silne i
trwałe zmiany w rozwoju gospodarki narodowej.
b. Wahania cykliczne  zwane te\
wahaniami koniunkturalnymi  cechą charakterystyczną
jest tu pewna periodyczność ich faz rozwojowych  mogą zachodzić powtarzające
się fazy wzrostu i zmniejszania się rozmiarów zjawiska pod wpływem istniejących
stale powtarzających się przyczyn.
- Są to wahania wieloletnie.
 60
- Wahania koniunkturalne  po okresie szczytowej produkcji (boomu) obserwuje
się znaczny spadek produkcji, wzrost bezrobocia, zmniejszenie inwestycji  do-
piero po tym okresie następuje okres o\
ywienia, itd.
c. Wahania sezonowe  dla tego rodzaju wahań charakterystyczna jest równie\
periodycz-
ność  wahania te są związane z określonymi sezonami.
- Mogą to być wahania krótkookresowe (np. tygodniowe, miesięczne) lub zmiany
w rocznym okresie wahań powtarzających się w określonych porach roku (np.
półroczne  zu\
ycie energii elektrycznej jest większe zimą, a mniejsze latem).
- Wahanie te nie przekraczają roku.
d. Trendy  to powolne, regularne i systematyczne zmiany okresowego zjawiska zaobser-
wowane w dostatecznie długim przedziale czasu i będące rezultatem działania przy-
czyn głównych.
- Zjawiska w szeregach czasowych mogą w przeciągu całego okres obserwacji
wzrastać i to z ró\
nym natę\
eniem, mogą te\
stale spadać lub pozostawać na
niezmienionym poziomie.
- Uwa\
a się, \
e do wyodrębnienia trendu powinien być wykorzystany okres co
najmniej 10 lat.
Wyrównywanie (wygładzanie) szeregów czasowych  to wyodrębnienie tendencji
rozwojowej przez eliminację wahań przypadkowych i okresowych.
Najczęstszymi metodami są:
- mechaniczna,
- analityczna.
" Metoda mechaniczna  opiera się na średnich ruchomych i polega na zastępowaniu
danych empirycznych średnimi poziomami z okresu badanego i kilku okresów są-
siednich.
- Średnie ruchome mogą być obliczane z parzystej bądz
nieparzystej liczby kolej-
nych wyrazów szeregu empirycznego.
- Wybór rodzaju średnich ruchomych uzale\
niony jest m.in. od celu badania:
- jeśli celem badania jest określenie siły i kierunku działania czynni-
ków okresowych  stosuje się średnie ruchome scentrowane (oblicza-
ne z parzystej liczby wyrazów),
- jeśli natomiast celem badania jest wyodrębnienie tendencji rozwojo-
wej  średnie ruchome obliczane są z nieparzystej liczby kolejnych
wyrazów szeregu czasowego.
 61
y1, y2, ..., yn  kolejne wyrazy szeregu
3-letni okres wygładzenia (szereg skraca się o dwie wartości: początek i koniec):
y1 + y2 + y3 y2 + y3 + y4 y3 + y4 + y5
y3l = y3l = y3l = itd.
3 3 3
5-letni okres wygładzenia (szereg skróci się o 4 wyrazy: 2 na początku i 2 na końcu):
y1 + y2 + y3 + y4 + y5 y2 + y3 + y4 + y5 + y6 y3 + y4 + y5 + y6 + y7
y5l = y5l = y5l =
5 5 5
4-letni okres wygładzenia:
1 2y1 + y2 + y3 + y4 +1 2 y5 1 2y2 + y3 + y4 + y5 +1 2 y6
y4l = y4l =
4 4
w przypadku parzystej liczby wyrazów stosujemy tzw. średnią chronolo-
giczną, której postać ogólna wyra\
a się wzorem:
1 2 y1 + y2 + ... + yn-1 +1 2 yn
ych =
n -1
!!! Zaleca się, aby liczba okresów, z których oblicza się średnie ruchome k  okresowe nie
przekraczały: k = 0,5n (gdy szereg zawiera parzystą liczbę obserwacji) oraz k = 0,5(n-1)
(dla nieparzystej liczby wyrazów szeregu).
Przykład 1
Produkcja papieru w Polsce w latach 1981-1990 przedstawiała się następująco:
Produkcja Średnia ruchoma Średnia ruchoma Średnia ruchoma
Lata
[tys. ton] 3-letnia 5-letnia 4-letnia
1981 909 - - -
1982 965 966,7 - -
1983 1026 1011,0 1002,6 1005,8
1984 1042 1046,3 1040,8 1042,9
1985 1071 1071,0 1079,4 1076,3
1986 1100 1109,7 1118,2 1115,0
1987 1158 1159,3 1146,6 1151,4
1988 1220 1187,3 1178,8 1181,5
1989 1184 1210,7 - -
1990 1228 - - -
a) Przedstawić szereg graficznie.
b) Wyodrębnić tendencję rozwojową metodą mechaniczną.
 62
ad. a)
1250
1200
1150
1100
1050
1000
950
900
1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991
Lata
Produkcja Średnia ruchoma 3-letnia Średnia ruchoma 5-letnia
! Gdy wygładzamy szereg zmienia się rozstęp:
Re = 1228  909 = 319 (rozstęp empiryczny)
R3l = 1210,7  966,7 = 244
R5l = 1178  1002,6 = 175,4
" Metoda analityczna  polega na tym, \
e tendencję rozwojową szeregu dynamicznego
wyra\
amy za pomocą funkcji matematycznej.
- Pozwala na określenie parametrów funkcji, które w sposób syntetyczny określają
prawidłowości rozwoju zjawiska..
Najprostszą postacią trendu jest linia prosta i odpowiadająca jej funkcja I-go stopnia.
Równanie trendu:
yt' = a + b �" t
gdzie: yt  wartości teoretyczne trendu wyznaczone na podst. funkcji
trendu w okresie t
a, b  parametry tendencji rozwojowej (trendu)
t  czas, który wyra\
amy w postaci numerów okresu
Wielko
ść
produkcji [tys. ton]
 63
Do estymacji parametrów w równaniach trendu stosujemy klasyczną metodę najmniejszych
kwadratów  polega ona na wyznaczeniu takiej funkcji do danych empirycznych, aby suma
kwadratów odchyleń poszczególnych wartości od wartości funkcji była równa minimum:
n
- yt ')2 = min
"(yt
i=1
Metody oznaczenia czasu:
- metoda klasyczna  gdy kolejnym okresom nadajemy kolejne liczby naturalne
(1, 2, 3, ...)
Kolejne okresy oznaczamy:
t
1
2
3
4
:
Wówczas parametry równania trendu obliczamy wg wzorów:
N �" yt - y �" y - b �"
" " "t a = " "t
b =
2
2
N
N �" (t )-("t)
"
b  określa średnie zmiany z roku na rok: ujemny znak oznacza tendencję
malejącą, znak dodatni  tendencję rosnącą
a  określa poziom badanego zjawiska w okresie zerowym
- metoda uproszczona  przy zało\
eniu, \
e suma oznaczeń okresów: Ł t = 0
Kolejne okresy oznaczamy w zale\
ności od tego, ile szereg liczy wyrazów:
- przy nieparzystej liczbie:
środkowy okres  0
ę!  liczby ujemne (co jednostkę)
 liczby dodatnie (co jednostkę)
t
-2
-1
0
1
2
Ł t = 0
 64
- przy parzystej liczbie:
I sposób: II sposób:
2 środkowe okresy  -1 i 1 2 środkowe okresy  -0,5 i 0,5
ę!  liczby ujemne (co 2 jednostki) ę!  liczby ujemne (co jednostkę)
 liczby dodatnie (co 2 jednostki)  liczby dodatnie (co jednostkę)
t t
-5 -2,5
-3 -1,5
-1 -0,5
1 0,5
3 1,5
5 2,5
Ł t = 0 Ł t = 0
Wówczas parametry równania trendu obliczamy wg wzorów:
y �" t' y
" "
b = a =
(t'2) N
"
b  określa przeciętne zmiany z roku na rok
a  średnia arytmetyczna (przeciętny poziom zjawiska w badanych latach)
Odchylenie standardowe składnika resztowego dla funkcji trendu  pozwala na określenie
stopnia z jakim poszczególne obserwacje (wartości empiryczne) obiegają od funkcji
trendu (od wartości teoretycznych)
(yt - yt' )
"
S(t ) =
n - k
gdzie: yt  wartości empiryczne
yt  wartości teoretyczne
n  liczba obserwacji (okresów)
k  liczba parametrów w równaniu trendu
S(t)  interpretacja: o ile przeciętnie mo\
na się pomylić szacując poziom zjawiska
przy wyznaczonym równaniu trendu
Pozostałe miary dla funkcji trendu (m.in. miary dobroci dopasowania; test serii) wyznacza-
my analogicznie do wzorów dla funkcji regresji.
 65
" Analiza sezonowości
- Wahania sezonowe są wahaniami okresowymi o cyklu rocznym  mo\
na je rozpatry-
wać w okresach miesięcznych lub kwartalnych.
- Dla tego rodzaju wahań charakterystyczna jest periodyczność  są one związane z
określonymi sezonami.
- Nie wszystkie wahania sezonowe mo\
na usunąć, w wielu jednak przypadkach mo\
na
oddziaływać na ich równomierniejszy rozkład w czasie.
- Wahania sezonowe mierzy się wskaz
nikami sezonowości. Obliczanie wskaz
ników
sezonowości mo\
na podzielić na następujące etapy:
1) Wyodrębnienie tendencji rozwojowej metodą mechaniczną lub analityczną.
2) Obliczenie surowych wskaz
ników sezonowości:
yt
SS = �"100
yt '
gdzie: yt  wartość w okresie badanym
yt  wartość teoretyczna trendu
3) Obliczenie średniej surowych wskaz
ników sezonowości dla jednoimiennych mie-
sięcy lub kwartałów.
4) Obliczenie współczynnika korygującego:
n �"100
k =
"SS
gdzie: n  liczba okresów (gdy są to kwartały: n = 4; gdy są to
miesiące: n = 12)
5) Obliczenie oczyszczonego wskaz
nika sezonowości:
S0 = k �" SS
 66
Przykład 1
Wielkość produkcji w mld zł w przedsiębiorstwie X w latach 1991-1995 wg kwartałów
przedstawia poni\
szy szereg:
yt
Lata i Wartość
SS = �"100
kwart. produkcji - yt t yt �" t t2 yt = 25,6 + 0,2�" t (yt  yt )2 yt '
1991 1 15 -19 -285 361 21,8 46,24 68,8
2 20 -17 -340 289 22,2 4,84 90,1
3 19 -15 -285 225 22,6 12,96 84,1
4 23 -13 -299 169 23,0 0,00 100,0
1992 1 23 -11 -253 121 23,4 0,16 98,3
2 36 -9 -324 81 23,8 148,84 151,3
3 35 -7 -245 49 24,2 116,64 144,6
4 28 -5 -140 25 24,6 11,56 113,8
1993 1 18 -3 -54 9 25,0 49,00 72,0
2 29 -1 -29 1 25,4 12,96 114,2
3 28 1 28 1 25,8 4,84 108,5
4 27 3 81 9 26,2 0,64 103,1
1994 1 17 5 85 25 26,6 92,16 63,9
2 28 7 196 49 27,0 1,00 103,7
3 26 9 234 81 27,4 1,96 94,9
4 22 11 242 121 27,8 33,64 79,1
1995 1 20 13 260 169 28,2 67,24 70,9
2 29 15 435 225 28,6 0,16 101,4
3 34 17 578 289 29,0 25,00 117,2
4 35 19 665 361 29,4 31,36 119,1
Ł 512 0 550 2660 661,2
Ł
Ł
Ł
1) Wyodrębniamy tendencję rozwojową metodą analityczną (uproszczoną):
yt = a + b �" t
y yt �" t
512 550
" "
a = = = 25,6 b = = = 0,2
2
n 20
"(t ) 2660
wartość produkcji w ka\
dym z kwartałów wartość produkcji wzrastała co pół roku
wynosiła przeciętnie 25,6 mld zł przeciętnie o 0,2 mld zł
yt = 25,6 + 0,2�" t
Obliczamy odchylenie standardowe składnika resztowego dla funkcji trendu:
(yt - yt' )
661,2
"
S(t) = = = 6,06
n - k 20 - 2
szacując wartość produkcji na podstawie równania trendu mo\
na się
przeciętnie pomylić o 6,06 mld zł
 67
2) Wyznaczamy surowe wskaz
niki sezonowości:
yt
SS = �"100
yt '
i porządkujemy je w następującej tabeli:
Lata I II III IV
1991 68,8 90,1 84,1 100,0
1992 98,3 151,3 144,6 113,8
1993 72,0 114,2 108,5 103,1
1994 63,9 103,7 94,9 79,1
1995 70,9 101,4 117,2 119,1
SS 74,78 112,14 109,86 103,2
Ł SS = 399,8 `" 400
S0 74,85 112,25 110,0 103,1
gdzie: SS  średnia z surowych wskaz
ników sezonowości dla jednoimiennych kwarta-
łów
S0  oczyszczone wskaz
niki sezonowości dla jednoimiennych kwartałów
3) Obliczamy średnią surowych wskaz
ników sezonowości dla jednoimiennych kwartałów
(patrz: tabela).
4) Wyznaczamy współczynnik korygujący:
- je\
eli suma z SS dla czterech kwartałów jest ró\
na od 4 (lub od 400), to trzeba
obliczyć współczynnik korygujący k i następnie oczyszczone wskaz
niki sezono-
wości S0
- je\
eli suma ta jest równa 4 (lub 400), to nie trzeba obliczać k  bo SS jest wów-
czas równe S0
n �"100 4 �"100
k = = = 1,001
399,8
"SS
5) Obliczamy oczyszczone wskaz
niki sezonowości:
S0 = k �" SS (patrz: tabela)
 68
Interpretacja:
S0 = 74,85% co oznacza, \
e na skutek działania wahań sezonowych w ka\
dym pierwszym
I
kwartale wartość produkcji była ni\
sza średnio o 25,15%. Z tych samych powodów wartość
produkcji w ka\
dym II-im kwartale kształtowała się na poziomie wy\
szym o 12,25% (II S0 =
112,25%), w ka\
dym III-im kwartale  o 10% (III S0 = 110%), natomiast w ka\
dym IV-tym 
o 3,1% (IV S0 = 103,1%).
Do pełnego rozwiązania nale\
ałoby jeszcze obliczyć dla funkcji trendu: �2, d, Vr.
Przykład 2
Plan zakładów mięsnych przewiduje, \
e w III-im kwartale 1994r. produkcja konserw mię-
snych wyniesie 165 ton. Jakie są perspektywy realizacji tego planu, jeśli wiadomo, \
e w la-
tach 1989-1993 przeciętna produkcja kwartalna w tych zakładach wynosiła 130 ton, a kwar-
talny przyrost produkcji wynosił średnio 4 tony. Ponadto wiadomo, \
e kwartalne surowe
wskaz
niki sezonowości były następujące:
SS = 1,2 SS =0,8 SS =0,9 SS =1,0
I II III IV
Nie ma równie\
podstaw, by przewidywać zmiany w dotychczasowym trendzie i sezonowo-
ści.
UWAGA! Parametry trendu oszacowano przy zało\
eniu, \
e Ł t = 0, gdzie t = ...,-3,-1,1,3,... .
Lata i kwart. t
1989 1 -19
2 -17
3 -15
4 -13
1990 1 -11
2 -9
3 -7
4 -5
1991 1 -3
2 -1
3 1
4 3
1992 1 5
2 7
3 9
4 11
1993 1 13
2 15
3 17
4 19
0
Ł
 69
Równanie trendu:
yt = 130 + 2�" t
a = 130  obrazuje przeciętny poziom
b = 2  obrazuje zmiany z okresu na okres (4:2  bo technika oznaczania czasu jest
co dwie jednostki)
Surowe wskaz
niki sezonowości:
SS = 1,2
I
SS =0,8
II
SS =0,9
III
SS =1,0
IV
Ł = 3,9 `" 4
Obliczamy współczynnik korygujący:
4
k = = 1,026
3,9
Oczyszczone wskaz
niki sezonowości:
S0 = 1,2 �" 1,026 = 1,2312
I
S0 = 0,8 �" 1,026 = 0,8208
II
S0 = 0,9 �" 1,026 = 0,9234
III
S0 = 1,0 �" 1,026 = 1,026
IV
Interesuje nas III kwartał 1994r., więc musimy przewidzieć co się stanie:
Lata i kwart. t
1994 1 21
2 23
3 25
y III / 94 = 130 + 2 �" 25 = 180
Przypuszczalna wielkość produkcji w III-im kwartale będzie wynosić 180 ton (prognoza bez
uwzględnienia sezonowości).
Produkcja wykazuje wahania sezonowe, zatem po ich uwzględnieniu:
y III / 94 = 180 �" 0,9234 = 166,21 ton > 165 ton
Odp. Przypuszczalna produkcja (165 ton) jest mo\
liwa do zrealizowania.
 70
Przykład 3
Dynamikę połowu ryb w gospodarstwie rybnym w poszczególnych kwartałach lat 1989-1991
opisuje liniowa funkcja:
yt = 14,5 + 0,2�" t , przy czym: t = ..., -3, -1, 1, 3, ... ;
a odchylenie standardowe składnika resztowego S(y) = 2,8.
Dysponując informacjami dotyczącymi połowów ryb w badanym okresie, zawartymi w po-
ni\
szej tabeli:
a) Przeprowadzić analizę wahań sezonowych połowów ryb ka\
dym z kwartałów.
b) Określić przypuszczalny poziom połowów w III-im kwartale 1992r.
Lata i Połowy ryb - yt t
yt SS
kwartały [tona]
1989 1 10 -11 12,3 81,3 b
1
2 12 -9 12,7 94,5 b
3 18 -7 13,1 137,4 a } 2
4 13 -5 13,5 96,3 b
3
1990 1 12 -3 13,9 86,3 b
2 15 -1 14,3 104,9 a
4
3 19 1 14,7 129,3 a
4 12 3 15,1 79,5 b
1991 1 13 5 15,5 83,9 b 5
2 14 7 15,9 88,1 b
3 21 9 16,3 128,8 a } 6
4 15 11 16,7 89,8 b } 7
1992 1 13
2 15
3 17
ad. a)
yt = 14,5 + 0,2�" t
S(y) = 2,8
yt
SS = �"100
yt '
Lata I II III IV
1989 81,3 94,5 137,4 96,3
1990 86,3 104,9 129,3 79,5
1991 83,9 88,1 128,8 89,8
SS 83,83 95,83 131,83 88,53
Ł SS = 400,02 `" 400
S0 = k SS 83,825 95,825 131,825 88,525
 71
n �"100 4 �"100
k = = = 0,99995
400,02
SS
ad. b)
y III / 92 = (14,5 + 0,2�" 17) �" 1,31825 = 23,598 ton