3226794662

1. METODA DRZEW

Metodę drzew stosujemy w przypadkach, kiedy doświadczenie losowe składa się z wielu etapów (np. serie rzutów, serie losowań, ...) lub zdarzenia elementarne nie są jednakowo prawdopodobne.

Drzewem nazywamy graf (diagram) ilustrujący przebieg doświadczenia losowego, na którym jego wierzchołkom przyporządkowujemy wyniki poszczególnych etapów doświadczenia, a krawędziom (odcinkom) - prawdopodobieństwa uzyskania tych wyników. Każda gałąź drzewa (ciąg krawędzi łączących początek drzewa z. jego wierzchołkiem) ilustruje przebieg wieloetapowego doświadczenia losowego. Przy obliczeniach stosujemy ixmizsze reguły:

1)    Reguła iloczynów' - prawdopodobieństwo zdarzenia reprezentowanego przez jedną gałąź drzewa = = iloczynowi prawdopodobieństw przyporządkowanych krawędziom z których składa się ta gałąź.

2)    Reguła sum - prawdopodobieństwo zdarzenia opisanego za pomocą kilku gałęzi na drzewie =

= sumie prawdopodobieństw otrzymanych dla tych gałęzi.

Początek drzewa

gałąź

Prawdopodobieństwo otrzymania wyniku

Pl+P2=l

V	\P4
w3	w4 w3	w4

Możliwe wyniki w I etapie

P₃+P₄=i

Możliwe wyniki w II etapie

Obliczanie metoda drzewka prawdopodobieństw zajścia wybranych zdarzeń losowych A.

P(A) = P₂-P₄

P(B) = P,*P₄ + P₂*P₄

P(C) = P,*P₄+P₂*P3 + P₂*P4

P(Cl) = P, P₃ + P|-P₄ + P2* P₃ + P2-P4 = 1

A - otrzymano pierwszy wynik w₂ i drugi wynik w₄

B - otrzymano wynik w₄

C- otrzymano wynik w₂ lub w₄

Cl - otrzymano wszystkie możliwe wyniki

2. DEFINICJE PRAWDOPODOBIEŃSTWA

Klasyczna definicja prawdopodobieństwa (Laplacea)

Prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A jest równe stosunkowi liczby zdarzeń elementarnych sprzyjających zajściu zdarzenia A (moc A) do liczby wszystkich zdarzeń elementarnych (moc fl), przy założeniu, że wszystkie zdarzenia elementarne e,- (e, e Cl) wzajemnie się wykluczają i są jednakowo prawdopodobne (tzn. częstości ich występowania wdanym eksperymencie są sobie równe).

liczba zdażeń elementarnych sprzyjających A moc A |A| A

P(A) =-=-=-- — A (e, 6Acft)

liczba wszystkich zdażeri elementarnych moc Cl |il| ^

gdzie:

O.    - skończony zbiór zdarzeń elementarnych;    moc Cl - ilość zdarzeń elementarnych;

P(A)    - prawdopodobieństwo zejścia zdarzenia A:    moc A - ilość zdarzeń sprzyjających    A

Schemat zastosowania klasycznej definicji prawdopodobieństwa w zadaniach:

1)    Określamy zbiór wszystkich jednakowo prawdopodobnych zdarzeń elementarnych Cl.

2)    Obliczamy ilość wszystkich zdarzeń elementarnych D:    moc O. = i.

3)    Określamy zdarzenia sprzyjające zdarzeniu losowemu A (e,e A) lub ewentualnie A' = Cl- A.

4)    Obliczamy moc A (ewentualnie moc A').

5)    Obliczamy prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A:    P(A) = moc A : moc Cl.

W razie konieczności powtarzamy punkty 3. 4. 5 dla następnych zdarzeń (np. B, C, A \ B,...)

Kiasyczna definicja nie daje się stosować da zbiorów nieskończonych, oraz zawiera błąd logiczny - użyto w niej pojęsia właśnie definiowanego (zdarzenia elementarna muszą być jednakowo możliwe =,prawdopodobne“).

© Copyright by Ewa Kędziorezyk    - 326 -    www.matematyka.sosnowiec.pl