3307665872

4 Porównanie GP i NB

W rozdziale tym omówione zostaną różnice pomiędzy dwoma rozkładami, w których występuje przewaga wariancji nad wartością średnią - uogólnionym rozkładem Poissona GP danym wzorem (10) oraz rozkładem dwumianowym ujemnym NB (ang. negative binomial). Porównanie dotyczyć będzie w głównej mierze ich funkcji rozkładu prawdopodobieństwa oraz ich skośności. Oczywisty jest fakt, że nie ma sensu porównywanie konkretnie ustalonego uogólnionego rozkładu Poissona z innym ustalonym rozkładem dwumianowym ujemnym. Aby z owego zestawienia wypłynęły miarodajne wyniki, musimy ustalić pewne cechy wspólne dla obu tych rozkładów. Ponieważ zarówno jeden jak i drugi posiadają po dwa parametry, ustalimy ich pierwsze dwa momenty centralne bądź, równoważnie, średnią i wariancję.

Niech /nb oraz fop oznaczają funkcje masy prawdopodobieństwa odpowiednio ujemnego rozkładu dwumianowego oraz uogólnionego rozkładu Poissona, a p i a² ich średnią i wariancję. Rozkład prawdopodobieństwa NB(r, p) dany jest wzorem

/nb{x; r,p)

T(r + x)p^r(\ — p)^x T(r)x\

x = 0,1,2,...

i jest to mieszany rozkład Poissona, gdzie funkcją randomizującą średnią jest rozkład Gamma r(r, 2). Średnia i wariancja tego rozkładu dane są wzorami

r(l~p) ₂    ^r(¹ ~ P)

P    i O    2    ’

V    V

skąd można wyznaczyć uzależnione od średniej i wariancji parametry rozkładu

£_    W P

a²'    1 — p a² — p

Oznacza to, że istnieje suriekcja działająca z (/t,<r²) na (r, p) dla a² > /r > 0 i r > 0, p > 0. Dla uogólnionego rozkładu Poissona GP($, k) mamy

a-*)³

Stąd ponownie wyznaczyć można parametry w zależności od przyjętej średniej i wariancji 0 = /*(!-*) =

Także w tym przypadku istnieje suriekcja (/i, a²) ■—> (0, k) dla cr² >/t>0i0</c<l, 0 > 0.

Przyjmijmy, że średnia p oraz wariancja a² są ustalone i równe dla obu rozkładów GP(0, k) i NB(r, p). Iloraz funkcji masy prawdopodobieństwa jest równy

Inb(x\t,p) _ T(r + x)f(l - p)^x/T(r)x\ Igp{x; 0, k)    0(0 + Kx)^x~¹e~^e~^KX jx\

20