4037602957

1.4. Szereg Taylora 9

Liczby rzeczywiste mają ogólnie nieskończone rozwinięcie dziesiętne. W systemach komputerowych możemy wykorzystywać tylko liczby z rozwinięciem skończonym. Rozróżniamy pojęcie zaokrąglania liczb oraz obcinania liczb. Zawsze musimy określić ile cyfr znaczących będzie zawierała liczba. Zaokrąglanie polega na wyborze liczby najbliższej liczbie zaokrąglanej. Obcinanie (inna nazwy - ucinanie, skracanie) polega na odrzuceniu wszystkich cyfr leżących na prawo od ostatniej ustalonej cyfry znaczącej. W Tabeli 1.1 podajemy przykłady zaokrąglania i skracania liczb. W wielu przypadkach wykonuje się miliony operacji na liczbach - wtedy

Tabela 1.1: Przykłady skracania do trzech liczb ułamkowych.

Liczba	Zaokrąglenie	Skrócenie
0,4398	0,440	0,439
-0,4398	-0,440	-0,439
0,43750	0,438	0,437
0,43650	0,436	0,436
0,43652	0,437	0,436

zaokrąglanie liczb może prowadzić do kumulowania się błędów, co w konsekwencji może prowadzić do błędnych wyników.

1.4 Szereg Taylora

Szeregi Taylora stanowią fundament metod numerycznych. Wiele technik stosowanych w metodach numerycznych korzysta wprost z szeregów Taylora, na przykład do oszacowania błędów.

Jeżeli funkcja f(x) ma ra-tą pochodną (x) w pewnym domkniętym przedziale zawierającym punkt a, wówczas dla każdego x z tego przedziału mamy następujący wzór:

f(x) = f(o) ■

/'(°)

(x - a) +

/"(«)

[x - a)² H-----b

(n - 1)!

(x — a)ⁿ

f^(n>(Cn)

(x — a)ⁿ

(1.17)

Jest to wzór Taylora. Ostatni wyraz we wzorze Taylora jest nazywany resztą wzoru Taylora:

B„=    (1.18)

n!

Jeżeli w szeregu Taylora przyjmiemy a = 0, to otrzymamy szereg Maclaurina:

m = /(oj

/'(O),

(n-1)!    n!

(1.19)

Wykorzystamy szereg Maclaurina aby rozwinąć funkcję sin(x). Zgodnie ze wzorem