4544139892

1. Rachunek prawdopodobieństwa 5

14.    Wewnątrz danego odcinka o długości a obieramy losowo 2 punkty: jeden na lewo, a drugi na prawo od środka odcinka. Jakie jest prawdopodobieństwo, że odległość między wybranymi punktami jest mniejsza niż |a?

15.    Wewnątrz danego odcinka o długości a obieramy na ”chybił trafił” dwa punkty. Jakie jest prawdopodobieństwo, że odległość między punktami jest mniejsza niż |o?

16.    Na płaszczyźnie poprowadzono proste równoległe. Odległość między nimi jest stała i równa d. Na płaszczyznę rzucamy igłę (tak cienką, że może być interpretowana jako odcinek)

0    długości l, przy czym l < d. Jakie jest prawdopodobieństwo, że igła przetnie jedną z wykreślonych prostych? (Jest to tzw. zadanie Buffona)

17.    Parę liczb (6, c) wybrano losowo z prostokąta [0,2] x [0,4]. Jakie jest prawdopodobieństwo, że pierwiastki równania x² + 2bx + c = 0 są rzeczywiste?

18.    Jakie jest prawdopodobieństwo, że pierwiastki równania x² + 2bx + c = 0 są rzeczywiste, jeśli liczby b i c zostały wybrane losowo z przedziału [0, 1]?

19.    Parę liczb (a, b) wybrano losowo z prostokąta [—1, l]². Oblicz prawdopodobieństwo, że równanie ax² + bx + 1 = 0 ma

a)    pierwiastki rzeczywiste,

b)    pierwiastki równe,

c)    pierwiastki rzeczywiste dodatnie.

20.    Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wybrany punkt kwadratu {|®| < 1, |y| < 1} jest punktem leżącym wewnątrz okręgu x² + y² = 1?

21.    Dwoje znajomych umawia się w pewnym miejscu. Każdy ma przyjść w dowolnej chwili między godz. 15.00, a 16.00 i czekać na drugiego przez 20 minut. Jakie jest prawdopodobieństwo, że się spotkają?

22.    Drewniane pale mają losową długość L, przy czym największa długość wynosi 12 m. Pale są przeznaczone do wbijania w ziemię, której skalna warstwa stanowiąca opór znajduje się na losowej głębokości H, której maksimum wynosi 10 m. Zaproponować przestrzeń zdarzeń elementarnych i podać jej interpretację geometryczną. Zilustrować następujące zdarzenia

1    obliczyć ich prawdopodobieństwa:

a)    długość losowo wziętego pala jest większa od głębokości, na której znajduje się skalna warstwa,

b)    głębokość skalnej warstwy przekroczy 8 m,

c)    długość losowo wziętego pala przekroczy 8 m.

23.    Przy projektowaniu przepustu odprowadzającego wodę z 2 oddzielnych obszarów A i B założono, że ilość wody pochodząca z A może wahać się w granicach 0—900 dm³/s, natomiast z B: 0—1500 dm³/s. Obliczyć prawdopodobieństwo, że ilość wody łącznie z obu obszarów przekroczy 2000 dm³/s.

24.    Z przedziału (0, 7r) wybrano losowo punkty x i y. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że sin® > 2y.

25.    Dwa punkty A i B zostały wybrane losowo z I ćwiartki układu współrzędnych, a następnie każdy z nich połączono z początkiem O układu współrzędnych. Obliczyć prawdopodobieństwo, że obie proste będą nachylone do siebie pod kątem mniejszym niż j.

© Copyright by W. Młocek, K. Piwowarczyk and A. Rutkowska