10556

ZESTAW IV.

DEFINCJA ZMIENNEJ LOSOWEJ. ROZKŁAD ZMIENNEJ LOSOWEJ. ROZKŁADY DYSKRETNE.

1.    Udowodnić, że dla dowolnej rodziny    podzbiorów zbioni Y i f X-*Y mamy:

a)    r‘fą]=* r*[ą]

b)    ąnB₂ = 0 => r'[B,]nr^,[Bj = 0

2.    Niech f X -*Y_t & . C -algebra na X oraz B={B<=Y: f~^l[B]eS). Udowodnić, że B jest

0    -algebrą na Y .

3.    Niech £i=[0,l], 5 = {Ą0,[O,^),[^,1]}. Na S określone jest prawdopodobieństwo P. Które z następujących funkcji są zmiennymi losowymi?

X,(w)=[w-|]

X₂(w)=[w+|]

4

Jeżeli X, nie jest zmienną losową, to uzupełnić & do & tak, aby X, była zmienną losową.

4.    W urnie mamy 2 kule białe i 4 czarne. Losujemy jedną kulę, którą (bez oglądania) odkładamy, a następnie losujemy 2 kule. Zmienna losowa opisuje liczbę czarnych kul wyciągniętych za drugim razem. Podaj jej rozkład.

5.    W umie są 2 kule białe i 3 kule czarne. Losujemy po jednej kuli (bez zwracania), aż wyciągniemy kulę białą. Zmienna losowa opisuje liczbę losowali Podaj jej rozkład, dystrybuantę. Oblicz i zaznacz na wykresie F_x : P(X e<2,3)), P(X >1), P(X ^2).

6.    Spośród przekątnych 9-kąta foremnego wybrano 3 i utworzono z nich trójkąt. Zmienna losowa X przyjmuje wartość 1, jeżeli trójkąt jest równoramienny, ale nie równoboczny, 2, jeżeli jest równoboczny oraz 3 w pozostałych przypadkach Podaj jej rozkład oraz dystrybuantę. Oblicz P(X e<2,3 >), P(X >1).

7.    Spośród wierzchołków i środków krawędzi czworościanu foremnego o krawędzi długości 1 wybrano losowo dwa różne punkty. Podaj rozkład zmiennej losowej opisującej długości

otrzymanego odcinka. Znaleźć F_x i narysować jej wykres. Obliczyć i zaznaczyć P(X >—),

4

P(Xe(|,V2)).

8.    Wybieramy trzy spośród wierzchołków sześcianu o krawędzi 1. Zmienna losowa opisuje pole utworzonego trójkąta. Podaj jej rozkład.

9.    Z urny, w której są 3 kule białe i 7 czarnych losujemy kolejno 3 razy po jednej kuli zwracając za każdym razem wylosowaną kulę i dokładając dwie kule tego samego koloru, jak wylosowana kula. Zmienna losowa opisuje liczbę wylosowanych białych kul. Podaj jej dystrybuantę. Oblicz

1    zaznacz na wykresie dystrybuanty P(.X ^1), P(Xe<l,2>)₍ P(Xe(l,2))_> P(X €<1,2)), P(X e (1,2 >).