18762

13) W przestrzeni wektorowej    o) działania określone są następująco:

x®y = (x„x₂)®(y,,y₂) = (x₁+y,+4, x₂+y₂-2) dla x»ye9? a o x = a o (*,, x₂) = (ax, + 4# - 4, ax, -2a + 2) dla are 5K x <= 91*. Sprawdzić

a)    liniową niezależność wektorów: v, =(—1,2), v₂ =(2,—1)

b)    czy wektory: w, =(1,—1), w₂ =(—3,2) generują SR²

c)    czy wektory: u, =(—2,0), u₂ =(1,1) są bazą danej przestrzeni wektorowej.

Homomorfizmy i przekształcenia liniowe

14) Sprawdzić, czy są liniowe przekształcenia przestrzeni wektorowych (z działaniami naturalnymi)

a) 7:9i³ ->9l²    7(x„x₂,x₃)=(2x, + x₂ -x₃, x₂ -1)

b) 7:9i² ->9i³    r(x„x₂)=(3x, -x₂,-x,+2x₂, x,+x₂)

c)    7:9\² ->9i²    T(x,,x₂) = (-2x, +3x₂, x, -2x₂)

d) 7:<R³->91²    T(x„x₂,x₃)=(2x₁ + x₂, 5x₂ -3x₃)

e) 7:9l³->9V    7(x„ x₂,x₃) =(2x, +x₃, 0,x₂ -x₃)

f) T:5i³^9\ 7(x,,x₂,x₃) = 2x,-x₂+3x₃)

g)    7:SR->9?² 7(x)=(-x,3x)

15) Dla jakich wielkości parametrów    liniowe jest przekształcenie przestrzeni wektorowych:

a) T:9l² ->9i²    T(x„ x₂) = (mx, + x₂, x, -2x₂-k)

b) T: SK³ ->9i³    7(x„x₂,x₃) =(x, + kx₂ -X3,m,x₂)

16)    Dla przekształcenia liniowego 7: 9l³ ->9l² takiego, że

a)    7(-1,-3,-2) =(-1,3) oraz 7(3,0,-2) =(2,5) wyznaczyć 7(-2,3,4).

b) 7(—1,2,0) =(—2,1) oraz 7(1,3,-1) =(3,6) wyznaczyć T(-4,3,1)

17)    Wyznaczyć wzór przekształcenia liniowego mając dane

a)    7: 9i² —» 9l³, T(-l, 2) =(0,-3, 5) oraz 7(3, -1) =(5, 4, 0).

b)    7:9?² -»9l³, T(-l,2) =(0,-3,-7) oraz 7(1,1) =(3,0,1)

c) 7:*³-**³, 7(1,1,0) =(1,3), 7(2,0,-2)= (-2,4) oraz T(-l,2,0) =(5,-3)

d)    7:*² ->9i³, 7(1,1) =(0,1,2) oraz 7-1,1) =(2,1,0)

18)    Dany jest homomorfizm liniowy 7(x,y, z) =(2x + y — z, x — y + 3z) oraz zbiór wektorów ^v ={^vi = (—1.1,0), v₂ =(0,1,1), v₃ =(2,0,1)}. Sprawdzić, czy T(V) jest bazą przestrzeni (^,3* <=$*).

19) Sprawdzić, czy przekształcenie h: 91² -» 91, /»(z,, z₂) = z, + z₂ + 3 jest homomorfizmem przestrzeni wektorowej (3^ ,3^    *) z działaniami naturalnymi, w przestrzeń (^R    •, °), gdzie

x»y = x + y-3 dla *, ye 9S oraz aox = ax-3a + 3 dla    9\.

20) Sprawdzić, czy przekształcenie /i: 91 —> 9l³, b(z) =(z —3, z +1, z) jest homomorfizmem przestrzeni

wektorowej    ~h ■) w przestrzeń ^    o)^

x®y = (x₁,x₂,x₃)®(y₁,y₂,y₃) = (x, +y,+3, x₂ +y₂ -1, x₃+y₃) dla x.ye3r

a°x = ao(x₁,x₂,x₃) = (ax₁ +3a-3, ax₂ -a+\, ax_i) dla «gT\ xe91³

6