2067

Przykłady

1) Y <i - szereg geometryczny,

n= 0

qt 1, geC

Wtedy

Y    ^cl" ■ zbieżny o 3 lim S„

M-0    »-*

Aby istniała granica musi zachodzić |q|<1 i wtedy lim ¹    ■

»-*    l-<7

Stąd

V    <j"=J_ dla |q|<1.

t“o 1-9

1

1-9

2) I

11=1

I

n(n+l)

*.=I:

lim S„= lim (1 -

y, i i , , i +1 i +1	1 + + 1	!+‘ 1 i 1
h^(k * + l 2 2 3 3	4 n-1	n n /i+l n+1
1,1 V 1	jest zbieżny i	V 1 .
n+1 ^1 szereg 2jb(ii+1)		«(«+!)

W przestrzeni Banacha ciąg jest zbieżny -^jest ciągiem Cauchy'ego, stąd wynika następujące twierdzenie:

Twierdzenie (WKW zbieżności Cauchy'ego)

Niech (X, H U)- przestrzeń Banacha i niech a_teX dla /reM Wtedy

Y^at-zbieżny » Ve>0 3«₀eN V»i,»ie IN. «„</«<«

i I

i

(l_k <E

Dowód

Ya„ -zbieżny o (sj^ -zbieżnym    - ciąg Cauchy'ego o

k = l

» Vf>0 3/i₀eN V»,/h€N, h₀<hi-1S?i ||5_rt—

□

-2-