2096

r	J	K
A		A
A	A	A
A	&	A
A	3/	A

przy założeniu, że wyznacznik

Jeśli dany jest wektor normalny n =[ a,b,Ć\ do powierzchni S, to płaszczyzna 7T styczna do powierzchni S w punkcie M(x₀,y₀,z₀) jest postaci

* /ł(x —x₀} + B(y—y₀) +C(z—z„) =0.

Zatem w przypadku *

jt. M)(x-x₀)+-^-( M)(y-y₀)+^-{ M)(z-z₀) =0.

Natomiast w przypadku stąd

cF    SF

x    Ml(x—X,) —Mł(y—y,)+z — z, = 0,

cF    cF

7C. z-z₀ =-^-(M)(x-x₀)+—(M)(y-y₀).

Definicja

Powierzchnia gładka jest to powierzchnia, która w każdym swoim punkcie ma płaszczyznę styczną, która zmienia się w sposób ciągły przy zmianie punktu styczności.

Warunkiem wystarczającym gładkości powierzchni jest by równanie określające powierzchnię było klasy C¹ oraz w przypadku, gdy powierzchnia jest zadana w postaci uwikłanej - by nie zawierała punktów osobliwych oraz w przypadku, gdy jest określona w postaci parametrycznej - by nie zawierała punktów wielokrotnych i n * 0.

Przykład

Równanie x² +y² -z² = 0 lub równoważne z² = x² +y² określa powierzchnię stożkową. Istotnie, jeśli z = z₀, gdzie z₀ = const, to x² + y² = z\ i przekrój płaszczyzną z = z₀ jest okręgiem o środku w punkcie (o,0,z₀) i promieniu z₀ . Natomiast jeśli X = 0, to

W— W    W VZ—|y|

zatem przekrój powierzchni płaszczyzną X = 0 jest dwoma prostymi ^{z =} Y i ^{z =} ~y.

2