22893

> Iloczyn skalarny Definicja:

X=( X,,..., xj

{*.y) = £x_ky_k

Własności:

/S.l.:V_n,.:(x,x)50«£x^0

M

/S.2.: (x, x) = 0 <=> x = 0    dodatnio_określony

= 0 => x* = 0 =* x_Ł = 0 => x = 0

fc=i

/S.3.: ( x + y, z) = (x, z) + (y, z) - addytywnosc

(x+y. z) = £( x, +yj z„ = £[ x_kz„ + y_tzj = £ x_A + £y*z,, = (x. z) + (y, z)

k-l    ii-l    Ii-l    Ii-l

,5.4.:^,.^, : (Ax, y) = A(x, y) - jednorodność

(**■ y) = D I y* = ^£x„y,, = A (x, y)

k-l    k-l

/S.5.: V_jf ^..: (x, y) = (y, x) — symetria

IS.6.: nierówność_Cauchy'ego- Buniakowskiego/Schwarza

^v,„ •^: l(^x- •>')f⁵ (*• ^x)(y- y)~^v,.„i ■^: M^£ MM

i    i

L*;Y£n

k-l J ^ k-l

dowod:

1

niech: Ae i ^V.„,-^Vx«i :<x-Ay,x-Ay)>0

K 4 a/S ł    JSS.    U

(x-Ay,x-Ay) = (x,x-Ay)-A(y,x-Ay) = (x-Ay,x)-A(x-Ay,y)

ISS

= (x, x) - l{y, x> - /l{x, y) +1- (y, y) = (x,x) + A²(y,y)-2A(x,y)>0 czy//: |{x, y )|² - (x, x) (y, y) > OW

> Norma Definicja:

||x|| - norma _ eukl idesowa

2