22915

4. Zestawienie funkcji

Niech:

f_t:X —»y,

f₂:X->Y₂

>    Zestawieniem funkcji fi i fj nazywamy funkcję: ( fu ^2)(^x) ^:=l fi[ *(» M*))

>    Zestawienie funkcji jest funkcją dowód

xe X -dowolny:) f„ f.,)) x) = (y„y₂) a) f₂)(x) = (y,,y₂) =>

=*( fi(*).f2(*))=(j'i.J'₂)A( fi(x).f₂(x))=(y„y₂)=> => ^.(>f) = r,^/j(•«) =y₂*fA*) = y,* f₂(x)=y₂=>

fi.frfimktf*    _    _    ___

=> J'i = J'|Ay₂ = y₂=»(y„y₂)=(y„y₂)

> Zestawienie injekcji/surjekcji/bijekcji jest injekcją/surjekcją/bijekcją dowód injektyczności: f,, f₂ - injekcje

xe X -dowolne:) f„ f₂)(x) =( f„ f₂)(x) <=»( f,(x), f₂(x)) =( f,(x), /₂(xj) <=>

<=* M*) =M^x) ^A fA^x) - M*)    => x = x=>( f, f₂)-injekcja

dowód surjektyczności: fv fi - surjekcje

f,,t₂-aajtkcte

(y„y₂)eY,xy₂-dowolne:y₁eY;Ay₂ey₂ =>    3„_x :y, = f,(x) a3„₂ :y₂ = f₂(x) =*

=» ³«x ^: (Xi> X₂) = ( f, (*) • f₂( *)) = ( ft- fi) (*) =» ( fi- fi) ~surjekcja 5. Injekcja

f:X ->Y-injekcja o [v _w x: X, * x, => f (X,) * f (x₂) ] «=> [V_wX: f (X,) = f (x₂) =» X, = X,]

& Surjekcja

f : X —> 7 - surjekcja <=> Dj =Y <=> Y = {y:3_wjr: y = f(x)}

7.    Bijekcja

f: X —>Y -bijekcja <=> f : X —> Y - injekcja a f : X —> Y -surjekcja

8.    Obraz i przeciwobraz zbioru

>    Obraz zbioru A: A c X wtedy: f\A\ ^:={y^e ^ ^:^jreA^:y ⁼ f(^x)|

>    Przeciwobraz zbioru B: BcY wtedy: f ’|    ^:=(x€ X :3^_a : y = /‘(x)} <=>{ xe X : f[ x) e B}