23422

OPERACJE ELEMENTARNE I RZĄD MACIERZY

Przekształceniami elementarnymi danej macierzy A=[^j]_mxn nazywamy następujące działania na wierszach lub kolumnach macierzy:

Ty - polega na pomnożeniu wszystkich elementów wybranego wiersza lub kolumny przez liczbę a * 0,

Ti - polega na zamianie miejscami dwóch dowolnie wybranych wierszy lub kolumn,

Ti -polega na dodaniu do wszystkich elementów wybranego wiersza lub kolumny odpowiadających im elementów innego wiersza lub kolumny pomnożonych przez liczbę a *0.

	1 0	2	3'		1	0	2	3'		1 0	10	5'
Przykład. A=	-1 1	2	3	T,(2-w2)	-2	2	4	6	r3(w,+2w3)	-1 1	2	0
	0 0	4	1		0	0	4	1		0 0	4	1

-112 0 7\(wi<->w₂)    10    10    0

*    *    0 0    4    1

Rzędem macierzy A nazywamy maksymalną liczbę liniowo niezależnych wektorów (wierszy lub kolumn) tej macierzy i oznaczamy przez rzA.

Sposoby wyznaczania rzędu macierzy

1)    Rząd macierzy jest to najwyższy stopień niezerowego wyznacznika kwadratowej podmacierzy (minora) tej macierzy (najwyższy stopień jej nieosobliwej podmacierzy).

2)    Tw. Przekształcenia elementarne typu Ty, Ti, Ti nie zmieniają rzędu macierzy

Postać bazowa macierzy (macierz bazowa) dla macierzy A

o, i o₂

gdzie Ik jest macierzą jednostkową stopnia k, zaś Oi i 0₂ są macierzami zerowymi

Tw. Każdą macierz A można za pomocą ciągu operacji elementarnych przekształcić do macierzy bazowej, która zawiera podmacierz jednostkową stopnia k. Wtedy rzA=k.

Stopień k macierzy jednostkowej I otrzymanej w lewym górnym rogu macierzy określa rząd macierzy.

2

Arkadiusz Lisak