24399

Twierdzenie 3 Jeśli macierz kwadratowa A stopnia n ma postać: gdzie D i D są macierzami kwadratowymi stopni k i n — k, a O jest macierzą zerową wymiaru (n — k) x k. to:

det A = (det D) • (det D)

Zadanie Na podstawie powyższego twierdzenia wyznacznik:

1	2	3	4
2	1	1	0
3	2	1	2
0	0	0	4
0	0	0	2
1	2	3
2	1	1	•ł o
3	2	1	z

jest równy:

Twierdzenie 4 (Cauchy) Niech A i B będą macierzami kwadratowymi stopnia n wtedy:

det(4 • B) = det(4) det(B).

Zadanie' Udowodnić, że jeśli A jest macierzą odwracalną to det A ^ 0 i

^det(^j4"¹) = ih

Rozwiązanie Ponieważ A - A ¹ = / to mamy det(.4 •A ^J) = det / = 1. Z twierdzenia Ca uchy’ego mamy:

1 = det(4 • A~^l) = det(4) • det(4"‘)

zatem det A 0 i otrzymujemy det(4^_l) =

Rozwinięcie wyznacznika względem kolumny (wiersza) macierzy

Niech A = [a,j]_nxr, będzie macierzą kwadratową, wtedy przez A_X} oznaczać będziemy macierz wymiaru (n — 1) x (n — 1) powstałą z macierzy A przez wykreślenie i-tego wiersza i j-tej kolumny.

Twierdzenie 5 (Laplacc) Niech A będzie macierzą stopnia n wtedy:

det A = ay(—1)^I+J det A\j + a_2j(-l)^2+j det A_2j H-----h a„j(-l)ⁿ⁺^ det A_nj,

det A = «n(—1)^,+1 det Au + a_i2(—l)^,+2det A_i2 H-----h a_in(— l)^,+n det A_in.

2