28245

Najprostszą formą regresji liniowej jest funkcja liniowa z jedną zmienną niezależną. Funkcja regresji Y względem zmiennej X przyjmuje następującą postać:

y, = a₀ + a₁x_l+e_l,

gdzie i = 1,2,...,n; a₀, a, są parametrami modelu oraz e jest składnikiem losowym modelu. Estymatory parametrów modelu, z wykorzystaniem metody najmniejszych kwadratów, wyznacza się następująco:

S₀ = a₀ = y- a_tx.

Następstwem budowy modelu statystycznego jest jego weryfikacja. Wyniki prognozy, otrzymanej za jego pomocą, należy porównać z wartościami rzeczywistymi. Obliczmy w ten sposób tzw. reszty:

ź = e, = y, “ 9i.

gdzie y oznacza wartość prognozy. Wariancje resztowe wyznaczanie są następująco:

^s2M=^i<y‘-v²=7±-2 i^e‘

1=1 1=1

Im mniejszą wartość przyjmuje powyższy parametr, tym lepszą ocenę otrzymuje weryfikowany model. W celu określenia dopasowania modelu liniowego do danych empirycznych, oblicza się współczynnik zbieżności oraz współczynnik determinacji. Współczynnik zbieżności dany jest wzorem:

₂ _ Zi=i(y« ~9i)² v    £’=,( y-y,)²

Współczynnik determinacji otrzymuje się następująco: R² = \—(p². Wartości obydwu współczynników zawierają się w przedziale [0,1]. Im wartość współczynnika zbieżności bliższa 0 oraz im wartość współczynnika determinacji bliższa 1, tym lepsze jest dopasowanie modelu liniowego do danych empirycznych.

Zadania do rozwiązania

1. W poniższej tabeli przedstawiono zużycie (w tonach) surowców A i B przez pewne

przedsiębiorstwo, w ciągu pięciu miesięcy. Oszacować parametry funkcji regresji opisującej zależność zużycia surowca A od surowca B oraz zinterpretować otrzymany model.

miesiąc	A	B
1	21.1	6
2	22.9	4.8
3	25	4
4	26.4	3.1
5	29.6	2.1