39720

HOMO M O R F III ZMY ID GRUPY III LORAZO W E

OZNACZENIA

Niech/będzie homomorfizmem grup (f: G—*G’).

Obrazem/nazywamy zbiór Imf = / g e G: 3aeG: fig) = a /cG'

Jądrem/nazywamy zbiór Ker/ = (geG: f(g) = e ’}, gdzie e ’ jest elementem neutralnym G 7 np. JcScli/- G—*G'jcst homomorfizmem zerowym (trywialnym) (f(g) = e' V geG) to:

Im/= {ej Kerf = {G}

np2.q>: R. —/(5 i=({ze C : |r| = 1}, •} q>(t) = e2-r.-i'i Imcp = 5 / Ker/ = Z*

S SST TTWW: ::

Niech/• G —*G' będzie homomorfizmem grup. Wtedy lm/< G’ Ker/< G S SST TTWW:::

Homomorfizm, którego jądro jest trywialne (tzn składa sięz jednego elementu - 1) jest iniekcją.

FI A \KKTTT

Obraz homomorficzny grupy abelowej jest grupąabelową. (Dowód był dla struktur)

DBF: ::

Podgrupę// grupy G nazywamy dzielnikiem naturalnym grupy G jeśli V *eGzachodzi równość: x • H • x -/ = H.

(W powySszym wzorze xH x -/ := {xhx-i: he H /).

S SST TTWW: ::

Pcxlgrupa H grupy G jest dzielnikiem naturalnym grupy G xe G zachodzi równośćHx = xH.