38510

lim/(x) = g« a [(limx_a = .r₀)=> (lim/(ar.) = gI

(•*.) »■+ V *<•#>

Przykład:

lim

x’-\

*♦* .T- 1

X? - 1    (.X - 1)(.X +1)

x„) = —— = ————- = X.+1 -» 2

Ae (-» .l)u (1,+ * ),*„ -» 1 =» - /(*.)    .    .

<*.>    "■* •    -1    X. - 1

Jeżeli

FriA'/ o nieistnieniu granicy funkcji w punkcie:

1 lim ar 's ar₀g<fcń> a X,¹* ar₀crarlim/(ar_lt^,) = g’

IM ■    Ił AT    im «

2. lim.x_łf"= x₀ gdzie a ł"* x₀orar lim/(*„") = g"

im •    n Ar    im •

3- g’* g”

to granica (właściwa lub niewłaściwa) Jjjj/W nie istnieje. Przykład: Uzasadnić, że nie istnieje granica:

1... 1 lim—r

.«-«o x

°= *o

0=^,

W»- •

/(*) =

lim/(.x_M')= lim

= lim yi³ = +« = g'

lim cos x²

.«-» o

. I*

.X„ = J—* //!-»+»

^M V 2

x„”= V2mi -» 0= ł« »■* ■

/(.x)= cos.x^J

lim /(.x_M')= lim cos) —+ ;/.r

limO = 0= g’

IM m

lim/(.x„") = limcos(2«f ) = lim 1 = 1= g"

IM •    IM •

g> g" stąd ^ⁿ]cosx~ nie istmeie

IM •

lim/(0 = lim

= lim(-w)^ł = - * = g"

gl^s g” stąd Inn —nie istnieje ’ - o x

Heine - definicje ciągów Cauchy - kwantyfikatory

• Definicja Cauchy 'ego granicy właściwej fiaikcji w punkcie:

Niech xe R oraz niech fimkcja f będzie określona przynajmniej na sąsiedztwie S(Xo). Liczba

g jest granicą właściwą funkcji f w punkcie Xo, co zapisujemy: J*™ ⁼ gdy:

A V Al

|-r-*„!<*)=> (|/0)- «|< dl