40578

E(X) =/u (przeciętna wartość średniej z próby jest równa średniej w populacji)

_ ^2

Var(X) =— (wariancja w rozkładzie średniej z próby jest H razy mniejsza od wariancji w populacji) n

Dowód:

E(X) = E(i£x,) = i£E(X,) = i    =

n n    nT n

Każda ze zmiennych losowych ma taki sam rozkład, a tym samym ma taką samą wartość

Var(X) = Var(- £ X, )= \£'M*,) = \£S‘ = \ • n S² = —

Wariancja z próby jest równa sumie wariancji (w populacji???)

Przypadek 2

Próba pochodzi z rozkładu normalnego Twierdzenie 2

Jeżeli X jest średnią arytmetyczną z n elementowej próby pobranej z rozkładu normalnego o wartości oczekiwanej l^Ł i wariancji S², to rozkład średniej z próby jest także normalny o wartości oczekiwanej i .. 8*

wanancji —.

n

Czy dla przykładu 1 możemy także powiedzieć coś o postaci analitycznej rozkładu średniej z próby?

Twierdzenie 3

Jeżeli X_ltX₂,...,X„ stanowi próbę losową prostą z dowolnego rozkładu o wartości oczekiwanej i wariancji S², to dla n -> oo rozkład średniej arytmetycznej z próby jest zbieżny do rozkładu normalnego.

Alternatywnie można zapisać, że statystyka Z :

z=^£

SJ^

ma rozkład zbieżny do rozkładu normalnego standaryzowanego, jeżeli n -) »

Powyższe twierdzenie nazywane jest Centralnym Twierdzeniem Granicznym (ang. Central Limit Theorem).