97897

Twierdzenie 2

Wartość oczekiwana stałej jest równa tej stałej:    E(a) = a, gdzie: a = const.

Twierdzenie 3

Wartość oczekiwana sumy zmiennych losowych X i Y jest równa sumie wartości oczekiwanych tych zmiennych losowych:

E(X+Y) = EX + EY

Wniosek 1:

Wartość oczekiwana kombinacji liniowej dowolnej skończonej liczby zmiennych losowych jest równa kombinacji liniowej wartości oczekiwanych tych zmiennych losowych:

+ a₂X₂ + ... + a_kX_k) = a_lEX_i +a₂EX₂ + ... + a_kEX_k

Wniosek 2:

Niech zmienne losowe Xi, Xi,.... X* mają jednakowe wartości oczekiwane równe C. czyli:

EX_l = EX₂ = ...

wynosi również C:

EX_k — C, to wartość oczekiwana średniej arytmetycznej tych zmiennych losowych

E

x_{ + x₂+... + x_k

k

Twierdzenie 4

Wartość oczekiwana iloczynu niezaletnych zmiennych losowych jest równa iloczynowi ich wartości oczekiwanych:

E(XY) = EXEY

Twierdzenie 5

Wartość oczekiwana modułu zmiennej losowej jest nie mniejsza niż moduł wartości oczekiwanej tej zmiennej losowej:

E\X\ > \EX\

Przykład 1

Rzut kostką - zmienna losowa typu skokowego:

Xi	1	2	3	4	5	6
El	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6

i=i

E(X) = Yx.p. =1- ¹ + 2- ¹ +... + Ó- ¹ = ⁷=3,5 ^{u 11}    A A 6 2

Wartość oczekiwana jest różna od wartości przyjmowanych przez zmienną losową: .v, = 3 lub 4.

Momenty zmiennej losowej

Definicja:

Wartość oczekiwaną w postaci: E(X —a)ⁿ gdzie: n-0,1, 2.... nazywamy n - tym momentem zmiennej losowej X względem liczby a . Jeśli a = 0. mamy do czynienia z momentami względem zera, które skrótowo są nazywane momentami lub momentanu zwykłymi.

Momentem n - tego rzędu zmiennej losowej X nazywamy wartość oczekiwaną postaci:

a„=E(X")