104343

LOGKA

Tautologie logiczne

tautologie logiczne - schematy reprezentujące zdania złożone wyłącznie prawdziwe -(prawa logiki)

[aby sprawdzie, czy dane zdanie jest tautologią czy też nie, należy przeprowadzić „sprawdzanie zerojedynkou/e']

przykład „sprawdzania zerojedynkowego" - czy następujące zdanie złożone jest tautologią? [(P-»q)Aq]-> P

a)    p=l. q=l

[(1 -» 1) a 1] -> 1, czyli (1 a 1) —> 1, czyli 1 —»1, czyli 1 (prawda)

b)    p=l,q=0

[(1 -» 0) a 0] -» 1, czyli (0 a 0) -> 1, czyli 1 —»1, czyli 1 (pravrda)

c)    p=0, q=l

[(0 -»1) a 1] -> 0, czyli (1 a 1) —» 0, czyli 1 —> 0. czyli 0 (fałsz, to nie jest tautologia)

d)    p=0, q=0

[(0 —> 0) a 0] —> 0, czyli (1 a 0) -»0, czyli 0 -> 0, czyli 1 (prawda)

[w przypadku bardzo złożonych zdań metoda ta może okazać się pracochłonna; da się ją uprościć przez szukanie przypadków, które mogą okazać się fałszywej

przykład „uproszczonego sprawdzania zerojedynkowego' - należy przeanalizować tylko te przypadki, w których dany schemat może okazać się fałszem (kontrtautologią logiczną).

[(P ^A q) -> r] -»[(p a ~q) -» ~r]

ten schemat może okazać się kontrtautologią logiczną tylko wtedy, gdy pierwszy jego człon będzie prawdziwy, a drugi - fałszywy (z definicji implikacji). Zakładamy zatem falszywość członu drugiego:

I(pA~q)-»-rj

Ten zaś będzie fałszywy tylko wtedy, gdy wyrażenie (p a -q) będzie prayrdziwe, a ~r - fałszywe.

(p a -q) jest prawdą wtedy i tylko wtedy, gdy p=l i ~q=l, czyli p=l i q=0 -rjest fałszem wtedy i tylko wtedy, gdy r=l

Teraz należy podstawić uzyskane wartości logiczne pod zmienne zdaniowe w pierwszym członie implikacji:

I(P ^A q) -* r]

Uzyskujemy: [(1 a 0) -» lj, czyli (0 -> 1), czyli 1

Skoro pierwszy człon implikacji może być prawdziwy, podczas gdy drugi jest fałszywy, cala implikacja jest fałszywa (dany schemat nie jest tautologią logiczną).