8021

2

Wn. Wartość logiczną zdania złożonego możemy obliczyć, wyznaczając po kolei wartości logiczne zdań prostszych.

Ex. 1

Zapisz poniższe zdanie za pomocą symboliki logiczną, używając zmiennych zdaniowych: p, q, r, ... oraz operatorów logicznych: 0, 0, 0, D, Di podaj jego matrycę.. Jeśli pada deszcz, to nie świeci słońce i na niebie są chmury". Niech p =■ pada deszcz’; q . świeci słońce"; r = .na niebie są chmury"

Tak więc mamy zdanie: p 0 0q 0 r

Budujemy		matrs	cęter	go zdania:
P	q	r	-»q	-i q a r	p —> —iq a r
1	i	1	0	0	0
1	i	0	0	0	0
1	0	1	1	1	1
1	0	0	1	0	0
0	i	1	0	0	1
0	i	0	0	0	1
0	0	1	1	1	1
0	0	0	1	0	1

Kolumna 4 zawiera wartości logiczne dla całego zdania złożonego. Zdanie złożone jest prawdziwe bądź to gdy nie pada deszcz, bądź to gdy pada deszcz lecz świeci słońce i na niebie są chmury. W pozostałych przypadkach jest fałszywe.

Def 2. Zdania złożone, które są zawsze prawdziwe, niezależnie od wartości logicznych zmiennych zdaniowych w nich występujących nazywamy tautologiami (prawami logiki); te zaś, które są zawsze fałszywe nazywamy kontrtaulologiami lub też wewętrznie sprzecznymi.

Ex. 2.

Zdanie .pDp’ jest tautologią, gdyż matryca przyjmuje zawsze wartość logiczną 1, zaś zdanie:

.p zaś jest kontrtautologią, gdyż matryca przyjmuje zawsze wartość 0.

p	p->p
1	1
0	1

P	“*P	P A->P
1	0	0
0	1	0

Ex 3.

Zbuduj matryce logiczną dla zdania złożonego P o postaci (p 0 q) 0[ (p 0Qq) 0 (p D q)) i wskaż czy jest ono tautologią, czy kontrtautologią.

p q	-«q	p -»q	P v-iq	p Aq	(p v-»q) -> (P a q)	P
i i	0	1	1	1	1	1
1 0	i	0	1	0	0	1
0 1	0	1	0	0	1	1
0 0	i	1	1	0	0	0

Ponieważ w ostatniej kolumnie w ostatnim wierszu pojawło się 0 zatem zdanie P nie jest tautologią. Nie jest tez ono kontrtautologią, gdyż nie wystąpiły w ostatniej kolumnie same zera.

Tautologie do których często odwołujemy się w procesach dowodzenia , posiadają zwykle specjalne nazwy, nawiązujące do ich strukturalnych własności. Do tych najbardziej znanych zaliczają się |(p 0 q) Op) Dq    modus ponendo ponens

((p 0 q) D0q ] n[0    modus tollcndo tołlens

0 (p 0 q)0 Op 0Dq    prawa de Morgana