53313

T^r=[7f = [7;,.^.....7^]

Na podstawie zaobserwowanych wyników próby możemy obliczyć wartości poszczególnych składowych wektora [7]. które będziemy oznaczać pizez (T] i będą one stanowić oceny poszukiwanych parametrów 0,.

(3.3.4)

Wektor ocen parametrów jest zwykle uzupełniany macierzą kowariancji estymatorów. Macierz kowariancji zawiera informacje o ocenie dokładności estymacji dla przypadku /.--wymiarowego.

Macierz kowariancji estymatorów definiuje się w zapisie macierzowym następująco

Cov(T)= £|[T- £(T)][T- E(T)]^rJ    (3.3.5)

Elementy na przekątnej macierzy (3.3.5) określają kwadraty błędów średnich szacunków poszczególnych parametrów', czyli ich wariancje, zaś elementy poza przekątną określają kowariancje poszczególnych par zmiennych.

Dla przykładu rozpatrzmy zbiorowość o rozkładzie normalnym /V(/r,c7), z której, dla estymacji parametrów' /r i er². pobrano próbę złożoną z n niezależnych obserwacji. Wybieramy następujące estymatory

	=>T =	X
<T^2		S\

(3.3.6)

Na podstawie wzoru (3.2.2) i (3.2.3) zachodzi. E\X )= //, co oznacza, że estymator X jest nieobciążony. gdyż spełnia warunek (3.3.1).

Z wzoru (3.2.6) widać, że wariancja estymatora X dąży do zera przy // -»co. gdyż wynosi

(3.3.7)

zatem X spełnia pr awo wielkich liczb (3.3.2) i jest estymatorem zgodnym.

-    <7²

Efektywność estymator a X wyraża się najmniejszą wariancją —.

n

Parametr <7² może być estyrnowany statystyką Ś² lub S², zdefiniowaną wzorem (3.2.13) lub (3.2.14). Wykorzystując wzory (3.2.23) i (3.2.26) otrzymujemy

n

£:(s²)=<7²    (3.3.9)

co dowodzi, że estymator Ś² jest obciążony, zaś estymator S² jest nieobciążony.

Wariancje tych estymatorów wyrażone wzorami (3.2.24) i (3.2.27) mają postać n-1 2<t²

E(S²)=-a‘

v(s²)^:

n n

(3.3.10)

(3.3.11)

Z analizy wariancji (3.3.10) i (3.3.11) wynika, że oba estymatory spełniają prawo wielkich liczb.

Z powyższych rozw^rażari wynika, że w zastosowaniach praktycznych należy stosować estymator nieobciążony S². Estymatorowi (3.3.6) odpowiada macierz kowariancji w postaci

V

n

Cov(T)

0

0

2cr⁴

(3.3.12)

Zerow^re elementy poza główną przekątną są konsekwencją twierdzenia, że dla prób ze zbiorow^rości o rozkładach normalnych X i S² są niezależne, czyli kowariancja między nimi jest równa zero.

Stosując zasadę obliczania średniego błędu szacunku dla estymatorów nieobciążonych można zapisać

17