112012

lim f(x)= g » a (lim x„ = x₀| => |lim f(x„) = g)|

(ij ’ih«    n-¹«

*■²!¹•»

Przykład:

v X² -¹

lim-=2

*-¹ x—1

AX_ne(-oo,l)u(l,-łoo),x_n ->l=>-f(x_n) = -=—- = ^-=——-(¹.)    x_n —1    X„—1

• Fakt o nieistnieniu granicy funkcji w punkcie:

Jeżeli:

1    limx_n’=x₀gdz/e a x_fIV x₀orazlim f(x_n') = g'

2    lim x„"= x₀gdzie a x_n"¹ x₀oraz\im f (x_n") = g"

n-¹<»    neN    n-¹°°

3. g’¹g”

to granica (właściwa lub niewłaściwa) f (¹) nie istnieje. Przykład: Uzasadnić, że nie istnieje granica:

lim cos x‘

^Llim-^-

»—<0 y^ł

x„’=--» 0 = x₀

n

x_n”=~->0=x_o

• fi¹

*■ ⁼\2⁺ⁿ¹^-⁺°° X„"= -J2 tl7T —> 0 = +oo

f(x)

lim f(x_n') =lim

[(UJ

=limn³ =+oo=g'

f(x)=cosx²

lim f(x_n’) = limcos^Y+n^ j=limO =0

lim f(x_n") = limcos(2n;r) = liml = l = g

n-¹°°    n-¹<¹>    n-¹«o

&1t g” stąd liS^cos x‘ nie istnieje

lim /'(x_n") - lim

IH3

=lim(—n) h-

gl ¹ &’ ’ stąd ijrn — me istnieje

X—¹J ^

Heine - definicje ciągów Cauchy - kwanty fika tory

1

Definicja Cauchy’ego granicy właściwej funkcji w punkcie:

2

Niech \G R oraz niech funkcja f będzie określona przynajmniej na sąsiedztwie S(x₀). Liczba

g jest granicą właściwą funkcji f w punkcie Xo, co zapisujemy:    ⁼ 9 gdy: