61415

lim /(¹) = g » a [(lim .x„ = x₀ ] => (lim /(¹„) = g |

Przykład:

lim

x’-\

*♦¹ .T- 1

X? - 1    (.X - 1)(.T +1)

x.)= —— = ————- = X.. + 1 -» 2

Ae (-» .l)u (1,+ ¹ ),¹„ -» 1 => - /(¹.)    .    .

<¹.>    "■¹ •    -1    X. - 1

Jeżeli

FriA'/ o nieistnieniu granicy funkcji w punkcie:

1 lim.x_łl^,= x₀ gdzie Ax_n't x₀orazhmf(x„^,)= g'

99¹ •    Ił AT    im «

2. lim.T_łf"= x₀gdzie a ł"¹ x₀oror lim/(¹„") = g"

im •    n Ar    im •

3- g’¹ g”

to granica (właściwa lub niewłaściwa) Jjjj/W nie istnieje. Przykład: Uzasadnić, że nie istnieje granica:

1... 1 lim—r

«-«o x

°= ¹o

0=^,

/!»- -

/(¹) =

lim/(.r_M')= lim

= lim yi³ = +« = g'

lim cos¹²

.«-» o

. I¹

X„ = J—ł //!-»+»

^M V 2

*„"= V2mi -» 0= ł« »■¹ ■

/(¹) = cos¹²

lim /(¹„') = lim cos) —+ nx

limO = 0= g'

19¹ m

lim /(¹„") = limcos(2«f ) = lim 1 = 1= g"

n¹ •    19¹ •    n¹ •

g> g" stąd linicos.Y'istnieję

19¹ •

lim/(0 = lim

= lim(-w)^ł = - ¹ = g"

gl^s g” stąd Inn —nie istnieje

»- 0 v’

Heine - definicje ciągów Cauchy - kwantyfikatory

A V Al t>0i>0¹S(x,r

1

   Definicja Cauchy 'ego granicy właściwej fiaikcji w punkcie :

Niech xe R oraz niech funkcja f będzie określona przynajmniej na sąsiedztwie S(Xo). Liczba

g jest granicą właściwą funkcji f w punkcie Xo, co zapisujemy:    ⁼ gdy:

|.v-.¹„!<¹)=> I|/(.r)-g|<f)|