019

Przykład 2

Oblicz lim

X—>1

5x+l x²+2 '

lim

X—1

5x+'l

x²+2

lim(5x + l)

>i    _ u

limf.T² + 2)    3

x—* 1

Zauważ, że dla funkcji f(x) = mamy /(l) = 2, czyli lim /(x) = /(l). Podobna własność zachodzi dla dowolnej funkcji wymiernej.

TWIERDZENIE

Jeżeli f{x)

w(x)

v(x)

oraz v(xq) ^ 0, to:

jest funkcją wymierną, gdzie w, v są wielomianami,

lim

w(x)    w(x o)

■>X₀ v(x)    v(xo)

Twierdzenie to jest wnioskiem z analogicznego twierdzenia dla granic ciągów (s. 241).

y _{a    0}

Ćwiczenie 2

Oblicz granicę.

x³—3 a) lim-—

' x^2 x-3

b)

lim

>—3

x³—x 2x² —10

c)

lim

£—s~2

4x⁴—4x² + l 2x² —1

Kolejne

wiastek.

Jeśli x, > Ogólni-:

■    dla n >

■    dla x, i

y

Ćwiczenie -

Oblicz grani a) lim

x-+64 '

Jeśli fum:

Przykład 3

Oblicz lim

x²—4x+3 x²—3x

Dla x = 3 licznik i mianownik przyjmują wartość 0 - mamy tu do czynienia z symbolem nieoznaczonym [jj], nie możemy więc skorzystać z powyższego twierdzenia. Licznik i mianownik rozkładamy na czynniki i skracamy:

"■²—4x+3 [g]    {x—l)(x^3)    x 1    2

-7—nry— — lim-= -

x(x—3)    x 3

lim

x-3

3x

lim

x—>3

Przykład 5

Oblicz lim

X--_

lim (x² — '

Ćwiczenie 5

Oblicz gram

a) lim —= x—>-6 ^

Przykład 6

Przykład 4

lim

2 x²—4

((x²r|-2x+4)

2)(x+2)

lim

x²-\-2x+4

x-\-2

12

T

Ćwiczenie 3

Oblicz granicę.

4x—x³ 2 x~\~2

Oblicz lim-

x—2

Zwróć uwa. _ tę granicę. : o

lim ——

x—>2    ;

a) lim

b) lim

X—>1

-2x²+x

x²-l

c) lim

x-^4 X^£

16

264    5. Rachunek różniczkowy