69114 img475 (3)

natomiast w tym przypadku obliczyć lim J (x) i lim f(x). Ponieważ w naszym

x->o^ł    x *b

przypadku lim/(x) > /(x₀), to wnioskujemy, że funkcja ta nie ma największej wartości w przedziale (a, b).

Podobnie funkcja przedstawiona na rys. c) nie ma największej wartości w przedziale (a, b), ponieważ tym razem lim /(x) = +oo.

x->a⁺

Podsumowując, możemy sformułować następujący wniosek.

WNIOSEK

Aby wyznaczyć największą i najmniejszą wartość funkcji ciągłej w przedziale otwartym (a, b) (czyli jej ekstrema globalne w tym przedziale), należy:

1)    wyznaczyć punkty krytyczne funkcji w przedziale (a, b)\

2)    obliczyć wartości funkcji w punktach krytycznych i granice funkcji na końcach przedziału: lim/(x) oraz lim /(x);

3)    określić, czy istnieją: wartość największa i najmniejsza funkcji w tym przedziale i ewentualnie je obliczyć.

Zastanów się, jak wyznaczyć największą i najmniejszą wartość funkcji ciągłej w sumie przedziałów otwartych.

PRZYKtAD 6.

Zbadajmy, czy istnieje największa i najmniejsza wartość funkcji w podanym przedziale:

\

1 3 2’ 2y

a) f(x) = X⁴ - 2x² + 4, x e

b)/(x) = x + 1, x e (-2, O).

f

V

Ad a)

1) Funkcja jest ciągła i różniczkowalna w przedziale /'(x) = 4x³ - 4x.

Mamy

f'(x) = 0 <=> [4x³ - 4x = 0 a x e

^ 1 3^ V 2’2_y

] <=> (x = O v x = 1).

Jedynymi punktami krytycznymi są x₀ = O i X-, = 1.

2) Obliczamy teraz:

/(1) = 3,/(0) =4,

lim

X—>

im _1Y f{x) = lim _t (x⁴ - 2x² + 4) = 3^

oraz

lirn

x->

K)-

/(*) = lim (x⁴ - 2x² + 4) = 4—

Kl

3) Ponieważ lirn /(x) > 3 i lim /(x) > 3, więc najmniejszą wartością tej

funkcji w przedziale jest wartość y = 3 (dla x = 1). Ponieważ zaś lim /(x) > 4,

Hf

to największa wartość tej funkcji w przedziale nie istnieje (patrz rysunek poni żej, otrzymany za pomocą komputera).

Ad b)

1) Funkcja jest ciągła i różniczkowalna w przedziale (-2, O),

/'W =¹ - ’ ^czy^{] f w ⁼    •

Zatem

/'(x) =Oo

x²- 1

O a x e (-2, O)

o x = -1.