006

PRZYKŁAD 1. Obliczyć pole między krzywymi f{x) =    - x² - x oraz g(x) = x>

Najpierw pytamy o punkty przecięcia tych krzywych. W tym celu rozwiązujemy równanie X* — x² — x = z, czyli równanie x(x² — x — 2) =0. Jasne, że    Ei = 0. Ponieważ

A - 1 + 8 = 9, więc X2 = 2 oraz x₃ = -L Widzimy, że krzywe y = x³ - x² - x oraz y ~ x przecinają się w punktach (—1,-1), (0,0) oraz (2,2), Figura między krzywymi składa się z dwóch obszarów. Pierwszy leży pod prostą y = x, z as drugi nad tą prostą (zobacz rysunek). Ich pola oznaczamy przez p\ oraz p₂- Obliczając te pola nie zwracamy uwagi na to, że obszary nasze leżą

2

częściowo pod osią Ox. pi — j[x-{x^—x²—x)\dx~

G

j{2x-X^ĄjrX²)dx = x?-\x^A-*r\x^s ^ = (2²-|-2⁴-h °i-2³)-(0²-J • 0* - J -0") = (4- 4+1) - 0 = |.

o

o

i -1 s-s*	(2,2) • •i A * A K‘ L- X /> X ^p' / *
ftyS	\ / 2
H-l)
	0

X'

p₂ = / [(j;³ - x² - x) - x] dx = f {-2x + a:³ - x²)dx =    -x + \x⁴ - 3;

-1    -1

0 - ( - (-l)²-h \ — ^(—1)) — Pole całego obszaru między prostą y — x oraz krzywą

y — t? - x² — x wynosi zatem    + ^ —

A

v

H

Oto uzasadnienie wzoru \jr²{tp)dip na pole

Ot

we współrzędnych biegunowych, który widzimy w środkowej ramce na poprzedniej stronie.

Naszą figurę przedstawiamy w postaci sumy Ar podzbiorów jak na rysunku obok. Innymi słowy, dzielmy przedział [aji\ na podprzedziały: [a₍),a 1] U [01,02] U ... U [Qf„_i_tO!_n]. Tu ao = n oraz a_7l = /?. Kładziemy A_L = 07 - ao, A₂ ~ o₂ - ai , >,. , A_n = a_nr a_n~i- Wybieramy kąty 71 e [ao,oi], . - * , 7^ e [a_n-i,a_n],

Pole Ar-tego krzywoliniowego fragmentu przybliżamy wycinkiem koła o promieniu r(7^),

Pole tego wycinka wynosi rrr²(7^) ■ -^k    =

^r²(7^) ■ A* = ir²(7fc)A_fcł Skorzystaliśmy tu ze wzoru na pole wycinka koła oraz 2 faktu, że OJn O_n^i Afc.

V&

,a

Wprowadzamy funkcję pomocniczą /(<p)    =

1

2

kr²{<p). Całe pole figury ” schodkowej” wynosi

ffn = ^^a(7i) ■ Ai + ... -+■ |r²(_7n) - A_n, czyli

a_n = /(71) ■ ^1 + ■» H- filn)' A_n. Jest to suma

całkowa funkcji    Dlatego pole figury ograniczonej krzywą r — r(tp), gdzie a < <p < ,3,

fi    fi _r    fi

wynosi lim a_n = f f(<p)d<p = f ir²(<p)d<p = ± f r²(<p)dip.

n oc

•A-l

A*