007

PRZYKŁAD 2* Obliczyć pole wewnątrz kardioidy r = a(l + cos^), gdzie 0 < tp < 2tt.

Ponieważ kardioida składa się z dwóch symetrycznych części (dla 0 < ip < tv oraz dla TT < <p < 2tt), więc możemy obliczyć podwojone pole jednej z nich. Otrzymujemy zatem v = 2-5 J'a²(l+coa^)² dtp = a² /(1+2 cos^+cos² <p) d<p = a² j (l+2cosy+n?p»2y) =

0    0    o

TT    _

a²/ (f + 2cosśp + ^ cos2<p)d'^> - a²(§<p + 2sin^ + | sin2ę?) o

0 + 0) = §7ra².

(§7r + 0 + 0) — (0 +

PRZYKŁAD 3. Obliczyć pole figury między osią Ox> prostą x — e i krzywą o współrzędnych parametrycznych x(t) = te¹, y(t) = te^¹.

Aby znaleźć miejsce przecięcia danej krzywej z osią Ox oraz odpowiedni parametr musimy odpowiedzieć na pytanie kiedy y(t) = 0. czyli kiedy ter¹ = 0 ? Oczywiście dla ii = 0. Punkt przecięcia to (x(0),y(0)) - (0.0),

Analogicznie znajdujemy miejsce przecięcia naszej krzywej z prostą x = e\ musimy znaleźć parametr t, dla którego x(t) = e. czyli te¹ = e< Jest nim t₂ = 1- Punkt przecięcia to (x(l),y(l.)) = (e, *). Spełnione są założenia wzoru na pole figury we współrzędnych parametrycznych (łatwo sprawdzić, że x^ł > 0 oraz y > 0 dla 0 < t < 1),

i    i

Pole naszej figury wynosi / |ie^—(ie*)⁷| dt = j |će^_f(e^£ +te^£)|

(ł + |)-(0 + 0) = |.

* fi

B. DŁUGOŚĆ KRZYWEJ

Długość krzywej we współrzędnych kartezjańskicK* biegunowych i parametrycznych (przy założeniu, że krzywa przecina siebie samą w co najwyżej skończonej liczbie punktów) oblicza się wg następujących wzorów.

91