112014

UWAGA: posiać algebraiczna liczby zespolonej:

Każdą liczbę zespoloną z=(x,y) można zapisać w postaci:

z=x+iy

nazywaną postacią algebraiczna liczby zespolonej.

Sprawdzenie: z=(x,y)    (x,y)=(x,0)+(0,y)=(x,0)+(y,0)(0,l)=x+yi    c.n.d.

• Definicja części rzeczywistej i części urojonej:

Niech z będzie liczbą zespoloną postaci z=x+iy. Wówczas:

1)    liczbę x nazywamy częścią rzeczywistą liczby zespolonej z, co zapisujemy: Rez=x

2)    liczbę y nazywamy częścią urojona liczby zespolonej z, co zapisujemy: Imz=y Liczbę zespoloną postaci z=iy, gdzie yG R\{0}, nazywamy czysto urojoną.

• Definicja płaszczyzny zespolonej:

Każdej liczbie zespolonej z=x+yi odpowiada dokładnie jeden punkt o współrzędnych (x,y) na płaszczyźnie. Płaszczyznę, której punktom przyporządkowano liczby zespolone nazywamy płaszczyzną zespoloną, ozn. przez C, jej punkty nazywamy punktami płaszczyzny zespolonej. Liczbom zespolonym postaci z=(x,0) odpowiadają punkty leżące na osi odciętych o współrzędnych z=Rez. Oś tę nazywamy osią rzeczywistą. Liczbom zespolonym postaci z=(0,y) odpowiadają punkty leżące na osi rzędnych o współrzędnych y=Imz. Oś tę nazywamy osią urojoną. Punkt (0,0) nazywamy zerem zespolonym.

os rzeczywista

os urojenia

Imz=> -

~Rez=

Toój-

zespolone

•    FAKT: Równość liczb zespolonych w postaci algebraicznej:

Dwie liczby zespolone zi i Z2 są równe wtedy i tylko wtedy, gdy ich części rzeczywiste są sobie równe, tj.: i|=i2<=> Rez,=Rei₂ • Imz,=Imz₂.

•    FAKT: Działania na liczbach zespolonych w postaci algebraicznej:

Niech zi=xi+yii oraz Z2=X2+y2i:

1)    dodawanie Zi + z* Z|+Z2=(Xi+X2)+(yi⁺y2)i

2)    odejmowanie zi - Z2: Zi-Z2=(xi-X2)⁺(yi-y2)i

3)    iloczyn zi-z₂:    Zi*Z2=(xi*xryryi)⁺(xi-y2+X2-y2)i

Sprawdzenie: zcz?=fxi-*-iviVfx3+ivA=XiX.^ixiV?+iviX3+i²viV^rxi-x?-vi-v?H(xrV3+x?-v?M

X2y\-X&2

xj+yl

4) iloraz -jj*:

_£i_ _ x,x₂+y,y₂ ^z2    x]+y]

•    Depnicja liczby sprzężonej:

Niech z=x+yi. Liczbę sprzężona do liczby zespolonej z, oznaczamy symbolem z , nazywamy liczbę zespoloną postaci:

z =x —yi

_£i_ _ *1 +jy_x _ (x_l+iy_l )(x₂-iy₂) _ x_lx₂-ix_ly₂+iy_xx₂-i² y_xy₂ _ x,x₂+y!y₂    x₂y₁-x₁y₂ .

z ₂ x₂+iy₂ (x₂+iy₂)(x₂-iy₂)    x²2+i²yj    x|+y₂²    x²2+yj

FAKT: Własności sprzężenia liczb zespolonych: