112021

Rozwinięcie Taylora

Rozwinięcie Taylora funkcji f w danym punkcie a to przedstawienie jej w postaci:

/(z) = f{a) +

/'(a)

«)^! +

a)" + Rn

R

n

+ !)■    , gdzie Ę jest liczbą z otoczenia punktu a,

(x < Ę < a lub a < Ę < x).

Rozwinięcie to może być skończone (jeśli funkcja nie ma pochodnych w danym punkcie powyżej pewnej pochodnej), nieskończone, bądź wszystkie składniki rozwinięcia od pewnego mogą być oszacowane (zobacz twierdzenia Taylora).

Przykłady

Rozwinięcie w x₀ = 1

f(x) = r²+r+l = /(l)+/'(l)(i-l)+/<²>(l)(r-l)² =

Rozwinięcie w x₀ = - 1

f(x) = z²+i+l = /(-l)+/'(-l)(z+l)+/‘^2,(-l)(i+l)² = l-(r+l)+^2(f+l)²

:3+3(r-l)+-2(i-l)²

Rozwinięcie e^x (przybliżenie)

2    3

_T    ar ar

^e ~ ^{1 + r+} z\ ⁺ 3! ⁺'

• +

Rozwinięcie funkcji wielu zmiennych

Analogicznie rozwija się funkcje wielu zmiennych, Np. rozwinięcie funkcji f(x,y) = X² - y² + xy + 2y to:

,    ,,    . df(x,y), . 9f(x,y).    , \9¹f(x,y),

f(x,y) = f(_X,,y₀)+-l^(_X-_X0)+-^±*l(y-y₀)+-

Co w punkcie (1, - 1) wynosi:

flx,y) = - 3 + (x - 1) + 5(y + 1) + (x - l)² - (y + 1 )² + (x - 1 )(y + 1)

-to)²+