120129

Def.: Gdy składowe ciągu X_v...X_k są niezależne i X_t -    dla i=l...k, to zmienna

k

losowa U_k = ma niecentralny rozkład zl($) ^z k stopniami swobody i parametrem

/-i

*

niecentralności 5 = 'Y_jm².

■-i

Gdy m_i = 0 dla każdego i=l.....n , co oznacza, że S = 0, to mówimy, że zmienna U_k ma

centralny rozkład z² z ka stopniami swobody i oznaczamy ją %\.

Wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej U_k o rozkładzie zl określa wyrażenie E(u_t)=k, D²(U„)=2k.

Tw.: Jeżeli liczba stopni swobody k —> oo to dystrybuanta zmiennej losowej U_k o rozkładzie x\ zmierza do dystrybuanty rozkładu normalnego N(k,2k).

W praktyce dystrybuanta zmiennej U_k jest dostatecznie dobrze przybliżoną dystrybuantą rozkładu normalnego, gdy k £ 30.

Niech macierz H stopnia n i rzędu k ś n będzie macierzą idempotentną, czyli H² = H.

Tw.: Jeżeli X ~ (pi _nJ_n), czyli X jest n-elementową próbą pochodzącą z populacji o rozkładzie normalnym standardowym, to zmienna losowa U_k = X • H • X^T ma rozkład niecentralny xl(^)* gdzie S = p^zH .

W szczególności, gdy p = 0 to S = 0 i (J_k ~ zl-

Tw.: Jeżeli zmienna losowa ma nieosobliwy k-wymiarowy rozkład normalny N(p_y Z) (czyli, Z jest macierzą dodatnio określoną - ma dodatni wyznacznik) to zmienna losowa U_k=(x -    - pj ma rozkład zl •

Rozkład Studenta (Gosct pseudonim Student)

Def.: Niech zmienna losowa Ż - N(p,l) i U_k ~ zl będą niezależne.

Wtedy zmienna losowa Y_k = .— = -Jk ma niecentralny rozkład studenta t(k\ A) z k Wk

stopniami swobody i parametrem niecentralności A = p².

Jeżeli A = 0 to mówimy, że T. ma rozkład studenta (centralny).

Gdy* >2 to: £(£/,) = 0,    D²(T_k)=-±-

k-2

P{Z>a}<P\T>a\

Rozkład studenta ma tłustszy ogon (skrzydło) rozkładu.

Tw.: Jeżeli liczba stopni swobody k -> oo to