Liczbę e można zdefiniować na kilka równoważnych sposobów.

Granica ciągu [edytuj]

Jako granica ciągu, e jest określana przez

Dowód zbieżności ciągu

Wykażemy, że ciąg
jest niemalejący i ograniczony z góry, a zatem jest zbieżny.

Połóżmy
. Przypomnijmy, że dla dodatnich liczb
zachodzi następująca nierówność Cauchy'ego między ich średnią arytmetyczną a geometryczną:

(*)

Rozważając
oraz x_{n + 1} = 1 otrzymujemy

a stąd

więc również
i
. Czyli ciąg (a_n)_n jest niemalejący.

Połóżmy
i zauważmy, że
.

Z nierówności (*) zastosowanej do
oraz x_{n + 2} = 1 otrzymujemy, że:

.

Stąd
a więc też
. Czyli ciąg
jest niemalejący. Ponieważ
, to możemy wywnioskować że ciąg (b_n) jest nierosnący, a stąd

.

Ciąg (a_n) jest więc niemalejący i ograniczony z góry (np. przez b₁), a więc jest zbieżny.

---