32. Omówić znaczenie wyboru elementu głównego w metodzie eliminacji Gaussa. Elimincja Gaussa bez wyboru elementu głównego nie może być wykonana dla macierzy, dla której pierwszy element główny jest równy 0. Przeważnie wybór elementu głównego prowadzi do zwiększenia dokładności (dla pewnych typów macierzy jest jednak nieporządany, zwiększa błąd).
33 Co oznacza pojęcie, że zadanie rozwiązania układu równań jest źle uwarunkowane? Jeżeli zadanie jest źle uwarunkowane to znaczy, że rozwiązanie układu jest bardzo wrażliwe na małe zaburzenie elementu macierzy układu.
34 Co to jest i o czym mówi współczynnik numerycznej poprawności algorytmu? Współczynnik numerycznej poprawności algorytmu to wsp =║r║/(macheps*║y║2║A║r ) gdzie r -wektor residuum, a macheps-precyzja obliczeń.
Jeżeli współczynnik jest rzędu n lub n2 (n -rząd macierzy), to przyjmuje się, że algorytm jest numerycznie poprawny.
35. Co to jest i o czym mówi współczynnik numerycznej osobliwości? Współczynnik numerycznej osobliwości macierzy
toll = 10n*maczeps*║A║F
Jeżeli moduł któregoś elementu głównego jest mniejszy od tol to przyjmuje się, że macierz jest numerycznie nieosobliwa. W drugim kryterium są porównywane wartości szczególne macierzy A
toll = 10n*maczeps*5^
gdzie .5 oznacza największą wartość szczególną macierzy A.
36 Opisz metodę Gaussa rozwiązywania układu równań liniowych?
Istotą metody Gaussa jest rozkład macierzy A na iloczyn macierzy trójkątnych. Macierz dolna L z l na przekątnej i górna U spełniają zależność: A=LU. Rozwiązanie Ax = b sprowadza się do układu Ux = y i Ly = b
37. Co nazywamy kosztem metody numerycznej i co ma wpływ na ten koszt? Koszt metody numerycznej jest to liczba wykonanych działań (cykli, obrotów, podziałów i iteracji) i jest uzależniony od
zastosowanej metody i przyjętej dokładności rozwiązania.
38 Co wiesz o metodzie Jacobiego obliczania wartości własnych macierzy?
Metodę Jacobiego stosuje się bezpośrednio do macierzy A w oparciu o zależność:QTAQ=diag(λi)
39. Opisz metodę QL znajdywania wartości własnych macierzy symetrycznej?
Macierz A jest doprowadzana do postaci trój przekątniowej macierzy B przez zależność B=ZTAZ. Macierz B jako podobna do macierzy A ma takie same wartości własne. 40 Co to są wektory własne i wartości własne macierzy?
Wartości a. i wektory własne x macierzy A: Ax == λx.
Dla symetrycznej macierzy A i macierzy ortogonalnej Q (Q-1 =QT ) takiej, że QTAQ=diag(λi)λ1 , λ1... λi są wartościami własnymi, a
kolumny macierzy Q wektorami własnymi.
41. Co nazywamy rzędem metody rozwiązywania równań różniczkowych?
Metody jest rzędu p jeżeli dla każdego zagadnienia początkowego różnica między wartością dokładną a jej przybliżeniem jest równa 0. Dla p+1 różnica ta jest ≠0.
42. Omówić różnicę pomiędzy metodą jednokrokową a wielokrokową rozwiązywania równań różniczkowych? W metodach jednokrokowych do obliczania kolejnej wartości przybliżonej y wykorzystujemy wartość obliczoną tylko w kroku bezpośrednio poprzedzającym, natomiast w metodach wielokrokowych wykorzystywane są wartości z kilku wcześniejszych kroków. Metody wielokrokowe mogą być tylko dla stałego kroku.
43. Sposoby poprawy dokładności rozwiązywania równań różniczkowych metodami Rungego-Kotty.
Poprawę dokładności rozwiązywania można uzyskać przez zmniejszenie długości kroku (dłuższy czas obliczeń ), stosowanie ,- metody jednokrokowej wyższego rzędu lub wielokrokowej.
44. Wyjaśnić pojęcie stabilności rozwiązywania równania różniczkowego? Metoda jest absolutnie stabilna dla danej długości kroku h, gdy jej zastosowanie do liniowego układu stabilnego daje ciąg rozwiązań przybliżonych zbieżny do 0. Stabilność zależy od zagadnienia początkowego oraz długości kroku.
45. Wyjaśnić pojęcie zbieżności metody numerycznej rozwiązywania równania różniczkowego.?Dla metody zbieżnej dostatecznie zmniejszając długość kroku można otrzymać rozwiązanie dowolnie bliskie dokładnemu. Zbieżność nie zależy od zagadnienia początkowego.
46. Omówić .na czym polega sterowanie długością kroku w procesie rozwiązywania równania różniczkowego i co to daje? Dostosowanie długości kroku do aktualnych obliczeń .dokonywane na podstawie oszacowania błędu lokalnego (np. ekstrapolacią Richardsona). Gdy jest mały błąd można zwiększyć krok co w efekcie daje optymalny czas obliczeń.