Nr ćwiczenia : 38	Temat ćwiczenia : Siatka dyfrakcyjna	Wydział : FTiMK	Data: 5.11.1999
Zespół nr : 6	Imię i nazwisko : Elżbieta Pojnar	Grupa : II	Ocena :

Siatka dyfrakcyjna jest układem szczelin rozmieszczonych równolegle i w jednakowych odstępach . Stałą siatki d nazywamy odległość środków sąsiednich szczelin . Jeżeli na siatkę pada równoległa wiązka światła monochromatycznego o długości λ , to każda szczelina będzie źródłem pęku promieni ugiętych pod różnymi kątami . Otrzymany na ekranie rozkład natężenia światła składa się z serii prążków interferencyjnych , których względne natężenie modulowane jest przez obraz dyfrakcyjny pojedynczej szczeliny . Promienie wychodzące ze wszystkich szczelin i tworzące z pierwotnym kierunkiem kąt α będą się wzajemnie wzmacniały , gdy różnica dróg δ między dwoma ugiętymi promieniami równa jest wielokrotności długości fali , co przedstawia wzór :

δ = dsin α = nα

Równanie to określa położenie maximów głównych natężenia światła . Z tego wynika , że odległość kątowa prążków jest określona stosunkiem α / d i nie zależy od liczby szczelin N . Dla n= 0 otrzymujemy prążek zerowy , odpowiadający wiązce nieugiętej , a w pozostałych przypadkach otrzymujemy prążki ugięte odpowiednio n - tego rzędu . Jeżeli padające światło jest mieszaniną fal o różnych długościach , to położenia maximów natężenia odpowiadają różnym kątom α . Każdy rząd rozciąga się w widmo pierwszego , drugiego , n - tego rzędu .

Liczba otrzymywanych rzędów jest ograniczona przez stałą siatki , zgodnie z warunkiem :

Wraz ze wzrostem szczelin N maleje szerokość maximów głównych . Pomiędzy nimi pojawia się N - 1 minimów bocznych oraz N - 2 maximów wtórnych o bardzo małym natężeniu , wywołanych wzmocnieniem się promieni przechodzących z mniejszej liczby szczelin . Położenie kątowe k - tego minimum , leżącego pomiędzy kolejnymi maximami głównymi wyraża równanie :

sin α= kλ / Nd

Dla k = N otrzymujemy maximum główne . Gdy rośnie liczba szczelin , to rośnie liczba minimów i maximów wtórnych .

Dyspersja kątowa siatki jest miarą odległości kątowej dwu linii utworzonych przez dwie monochromatyczne fale , których długości różnią się od siebie o Δλ . Aby otrzymać Dyspersja kątową różniczkujemy wyrażenie : δ = dsin α = nα otrzymując :

D =

Wielkość D nazywamy dyspersją kątową siatki . Dyspersja wzrasta wraz z rzędem widma i jest odwrotnie proporcjonalna do stałej siatki d . Dla małych kątów (cos α ~ 1) odstęp między dwiema liniami spektralnymi jest wprost proporcjonalny do różnicy długości tych linii , co oznacza , że widmo jest w przybliżeniu liniowe . W wyższych rzędach dyspersja kątowa wzrasta wraz z α , a tym samym i z λ . Oznacza to , że czerwony koniec widma jest bardziej rozciągnięty niż niebieski .

Zdolność rozdzielcza siatki jest miarą zdolności siatki do rozdzielenia dwóch blisko siebie leżących linii widmowych . Siatka dyfrakcyjna pozwala rozróżniać dwie linie widmowe o długościach λ i λ + Δλ . Jeżeli ich obrazy ugięciowe są tak rozsunięte , że główne maximum fali o długości λ + Δλ występować będzie dla tego samego kąta , dla którego pojawi się pierwsze minimum linii drugiej , o długości λ , z kryterium Rayleigha . Położenie maximum linii λ + Δλ określa wzór :

dsinα' = n(λ + Δλ)

Jeżeli minimum fali o długości λ ma wypaść dla tego samego kąta α' , to różnica dróg dsinα' jest równa sumie różnicy dróg nλ , odpowiadającej maximum n - tego rzędu i różnicy dróg

λ / N odpowiadającej najbliższemu minimum :

dsinα' = nλ + λ / N

Kryterium Rayleigha prowadzi do wzoru :

nλ + λ / N = n(λ + Δλ)

Stąd R wynosi :

R =

Wielkość tą nazywamy zdolnością siatki , gdzie : λ - średnia długość fali dwóch linii , które zostaną rozdzielone , Δλ - różnica długości fal .

Siatki dyfrakcyjne otrzymuje się przez nacinanie diamentowym ostrzem równoodległych , równoległych rys na szkle lub rowków na metalowej płycie . Wyróżniamy siatki transmisyjne , odbiciowe i wzorcowe . W siatkach transmisyjnych rysy nacinane są na szkle , a przerwy między nimi pełnią rolę szczelin . Natomiast w siatkach odbiciowych rysy nacinane są na polerowanej powierzchni metalu , a światło padające na miejsca między rysami jest odbijane . Siatki , z których korzystamy w pracowni są replikami siatek wzorcowych . Dobre siatki mają około 1200 szczelin na 1mm i są wykorzystywane w spektrografach . Siatek tych używa się do analizy spektralnej , czyli do badania struktury , pomiarów długości i natężenia linii widmowych pierwiastków tworzących związki chemiczne . Krystaliczne ciało stałe , którego atomy tworzą trójwymiarową , periodyczną strukturę w trzech wymiarach , stanowi naturalną trójwymiarową siatkę dyfrakcyjną dla promieniowania o długości fali porównywalnej z odległościami międzyatomowymi w krysztale - promieniowania rentgenowskiego . Metoda dyfrakcji promieni Roentgena na kryształach jest podstawową metodą analizy strukturalnej ciała stałego , pozwalającą precyzyjnie określić parametry sieci przestrzennej danego materiału.

Zjawiska dyfrakcyjne zależą od odległości szczeliny od źródła i ekranu . Gdy odległości te są skończone , falę możemy traktować jako kulistą i mówimy wówczas o dyfrakcji w sensie Fresnela . W przypadku , gdy źródło i ekran znajdują się w odległościach nieskończenie wielkich od szczeliny , czoła fal padających na otwór uginający są płaszczyznami , a promienie są równoległe , mówimy wówczas o dyfrakcji w sensie Fraunhofera .

Przystępując do wykonania ćwiczenia wyznaczam stałą siatki .

Stałą siatki dyfrakcyjnej wyznaczam za pomocą mikroskopu zaopatrzonego w okular mikrometryczny , korzystając z następujących wzorów :

gdzie : d - stała siatki

d- wielkość działki skali okularu

d- wielkość działki mikrometrycznej skali wzorcowej (0,01mm)

k - liczba rys siatki

k' - liczba działek skali wzorcowej

n , n' - liczby działek skali okularowej

W naszych obliczeniach przyjmujemy , że n = n' . Rozwiązując układ równań mamy :

z pierwszego równania d =

z drugiego równania n =

Odpowiednio podstawiając dostajemy wzór na stałą siatki dyfrakcyjnej :

d = =

Czyli podstawiając wartości mamy :

d =

Wyznaczam niepewność maksymalną Δd korzystając z różniczki zupełnej .

Niech d = f(k', k) oraz niech : Δd= 0,0005

Δk' = 0,01

Δk = 0,01

Δd =

Δd =

Δd =

Δd = 0,00025 + 0,00001 + 0,00001 =0,00027 ≅ 0,0003[mm]

Czyli d = 0,005 ± 0,0003[mm]

Po ustawieniu ogniska kolimatora wykonuję pomiary odległości odpowiednich par prążków .

Korzystając ze wzoru dnλ obliczam λ dla poszczególnych wartości .

λ =

Otrzymane wartości przedstawiam w tabelce :

L = 55[cm] = 0,55[m.] ΔL = 0,01[m.]
Rząd widma n	Barwa światła	2y[mm]	y± Δy [mm]	λ[nm]
0	-----------	-58±1[mm]	-29±0,5[mm]	-------
I	zielona zielona żółta żółta fioletowa fioletowa	110±1[mm] 112±1[mm] 124±1[mm] 126±1[mm] 92±1[mm] 90±1[mm]	55±0,5[mm] 56±0,5[mm] 62±0,5[mm] 63±0,5[mm] 46±0,5[mm] 45±0,5[mm]	497,5 506,4 560,0 569,0 416,7 407,7
II	zielona zielona żółta żółta fioletowa fioletowa	228±1[mm] 220±1[mm] 260±1[mm] 262±1[mm] 184±1[mm] 180±1[mm]	114±0,5[mm] 110±0,5[mm] 130±0,5[mm] 131±0,5[mm] 92±0,5[mm] 90±0,5[mm]	507,3 490,2 575,0 579,2 412,4 407,7
III	zielona fioletowa	312±1[mm] 264±1[mm]	156±0,5[mm] 132±0,5[mm]	454,7 388,9

Wyznaczam długość fali dla każdego rodzaju barwy jako średnią arytmetyczną z uzyskanych wyników :

zielona λ =

żółta λ =

fioletowa λ =

Metodą różniczki zupełnej obliczam niepewność maksymalną Δλ .

λ = f ( d , L , y, n )

Δλ =

Δλ =

Δλ =

Δλ = 0,0000346 + 0,0024623 + 0,0000088 = 0,0025057 [nm] ≅ 0,003[nm]

W wykonanym ćwiczeniu popełniliśmy błędy . Złożyły się na to zarówno warunki pracowni jak i niedokładność przyrządów , które używaliśmy . Licząc długości fal popełniliśmy błąd , który wynikał z zastosowania przybliżonego wzoru na długość fali .Mimo wszystko możemy być zadowoleni z otrzymanych wyników , gdyż popełniony błąd odnośnie długości fal jest rzędu 10[m.] . Dokładniejsze wyniki otrzymalibyśmy stosując mikroskop elektronowy do wyznaczenia stałej siatki , jak również stosując inny rodzaj siatki dyfrakcyjnej np. wzorcowy .

---