Materiały
na kolokwium
z Ekonometrii

WSPÓŁCZYNNIK PEARSONA

W przypadku współczynnika Pearsona sprawa w zasadzie jest dość prosta jest tylko jeden wzór
z którego należy skorzystać, aby wyznaczyć współczynnik i odpowiednio go zinterpretować

n - liczba elementów

- wartości średnie

Rozwiązanie polega na wypełnieniu wartości w tabeli

1	2	3	4	5	6	7	8
i	X	Y

• wartości w kolumnach 1,2 i 3 są podane

• 
  obliczamy dodając do siebie wszystkie x_i i dzieląc przez n

• 
  obliczamy dodając do siebie wszystkie y_i i dzieląc przez n

• sumujemy wyniki z kolumny 6

• sumujemy wyniki z kolumny 7

• sumujemy wyniki z kolumny 8

• wszystko podstawiamy do wzoru

Interpretacja wyniku:

• jeżeli
  - zależność dodatnia

• jeżeli
  - zależność ujemna

• jeżeli
  - brak zależności

• 
  lub
  - silna zależność liniowa

Model ekonometryczny

Macierz współczynników korelacji

W pierwszym momencie można się załamać jak się na to spojrzy, ale może „w tym szaleństwie jest metoda”

W zadaniu otrzymujemy macierz R ( symetryczną - na przekątnej same jedynki ) i R₀. Zgodnie z ustaleniami wartość krytyczna r* także będzie podana, więc wzór na jej wyliczanie pominę.

Warto pamiętać o dwóch zależnościach

Przykład rozwiązania

r*=0,6

Krok 1

z tabeli R₀ wyrzucamy zmienne które spełniają powyższy warunek czyli
są to:
x₁,x₂,x₄,x₅

Krok 2

Z tablicy R₀ wybieramy najwyższą wartość czyli x₇=0,91 i nazywamy ją x_h

Krok 3

x_h dotyczyło wartości x₇ dlatego sprawdzamy wartości w 7 kolumnie macierzy R. Po usunięciu wartości w kroku 1 pozostały nam wartości x₃,x₆,x₇,x₈ współczynniki stojące przy x-ach oznaczają wiersze które będą nas interesować

x_h=x₇

x₃ - wartość znajdująca się na przecięciu 7 kolumny i 3 wiersza
wynosi 0,54

x₆ - wartość znajdująca się na przecięciu 7 kolumny i 6 wiersza
wynosi 0,86

x₈ - wartość znajdująca się na przecięciu 7 kolumny i 8 wiersza
wynosi 0,79

Krok 4

Sprawdzamy które z wartości wybranych w poprzednim kroku spełniają warunki powyższego wzoru i te eliminujemy z modelu.

Krok 5

Do modelu wchodzą zmienne
oraz x₇

Model wygląda więc następująco

Metoda współczynników
informacyjnych Hellwiga

W tej metodzie mamy dane tylko R i R₀

Rozpatrujemy wszystkie możliwe kombinacje potencjalnych zmiennych objaśniających. Ilość kombinacji obliczamy ze wzoru

m - liczba zmiennych objaśniających

Wskaźnik indywidualny

Jako, że
dla ułatwienia wskaźnik indywidualny można zapisać następująco

Dla l=j powyższy wzór ma postać

Przykład rozwiązania

Krok 1

Obliczamy i wypisujemy wszystkie kombinacje potencjalnych zmiennych objaśniających

kombinacji x₁, x₂, x₃

Krok 2

W przypadku kombinacji K₁ w macierzy R rozpatrujemy liczbę znajdującą się w 1 wierszu i w 1 kolumnie. Jako, że wartość w macierzy R znajduje się w 1 wierszu to w macierzy R0 także interesuje nas to co znajduje się w 1 wierszu

Wartość współczynnika indywidualnego dla kombinacji K₁ wynosi

Krok 3

W przypadku kombinacji K₂ w macierzy R rozpatrujemy liczbę znajdującą się w 2 wierszu i w 2 kolumnie. Jako, że wartość w macierzy R znajduje się w 2 wierszu to w macierzy R₀ także interesuje nas to co znajduje się w 2 wierszu

Wartość współczynnika indywidualnego dla kombinacji K₂ wynosi

Krok 4

W przypadku kombinacji K₃ w macierzy R rozpatrujemy liczbę znajdującą się w 3 wierszu i w 3 kolumnie. Jako, że wartość w macierzy R znajduje się w 3 wierszu to w macierzy R₀ także interesuje nas to co znajduje się w 3 wierszu

Wartość współczynnika indywidualnego dla kombinacji K₃ wynosi

Krok 5

W przypadku kombinacji K₄ w macierzy R rozpatrujemy pierwsze dwie liczby znajdujące się w 1 wierszu i pierwsze dwie w liczby znajdujące się w 2 wierszu. Jako, że wartości w macierzy R znajduje się w 1 i 2 wierszu to w macierzy R₀ także interesuje nas to co znajduje się w 1 i 2 wierszu

Można przyjąć, że dla kombinacji K₄ macierz R i R₀ wygląda następująco

Wartość współczynnika indywidualnego dla kombinacji K₄ w 1 wierszu wynosi

Wartość współczynnika indywidualnego dla kombinacji K₄ w 2 wierszu wynosi

Krok 6

W przypadku kombinacji K₅ w macierzy R rozpatrujemy ostatnie dwie liczby znajdujące się w 2 wierszu i ostatnie dwie w liczby znajdujące się w 3 wierszu. Jako, że wartości w macierzy R znajduje się w 2 i 3 wierszu to w macierzy R₀ także interesuje nas to co znajduje się w 2 i 3 wierszu

Można przyjąć, że dla kombinacji K₅ macierz R i R₀ wygląda następująco

Wartość współczynnika indywidualnego dla kombinacji K₅ w 2 wierszu wynosi

Wartość współczynnika indywidualnego dla kombinacji K₅ w 2 wierszu wynosi

Krok 7

W przypadku kombinacji K₆ w macierzy R rozpatrujemy pierwszą i trzecią liczbę znajdującą się w 1 i 3 wierszu. Jako, że wartości w macierzy R znajduje się w 1 i 3 wierszu to w macierzy R₀ także interesuje nas to co znajduje się w 1 i 3 wierszu

Można przyjąć, że dla kombinacji K₆ macierz R i R₀ wygląda następująco

Wartość współczynnika indywidualnego dla kombinacji K₅ w 1 wierszu wynosi

Wartość współczynnika indywidualnego dla kombinacji K₅ w 3 wierszu wynosi

Krok 8

W przypadku kombinacji K₇ rozpatrujemy całą macierz R i całą macierz R₀

Wartość współczynnika indywidualnego dla kombinacji K₇ w 1 wierszu wynosi

Wartość współczynnika indywidualnego dla kombinacji K₇ w 2 wierszu wynosi

Wartość współczynnika indywidualnego dla kombinacji K₇ w 3 wierszu wynosi

Krok 9

Integralny wskaźnik pojemności informacyjnej

Dla poszczególnych kombinacji integralny wskaźnik pojemności informacyjnej jest sumą współczynników indywidualnych dla poszczególnych wierszy macierzy

Do modelu należą zmienne należące do kombinacji dla której H jest maksymalny

Powyższy przykład nie rozstrzyga jednoznacznie, dlatego do modelu należą
i

Eliminacja zmiennych quasi-stałych

V* - wartość krytyczna ( będzie dana )

Dla każdej zmiennej objaśniającej x_i wyznaczamy współczynnik zmienności

Obliczamy V_i ze wzoru

Z modelu wyłączamy zmienne spełniające warunek

Model ekonometryczny liniowy
z jedną zmienną

Korzystamy ze wzorów

Wyliczamy średnią

Wyliczamy wartości w tabeli i podstawiamy do wzorów

1	2	3	4	5	6	7

• wartości w kolumnach 1,2,3 są podane

• sumujemy wartości w kolumnie 6

• sumujemy wartości w kolumnie 7

Wszystko podstawiamy do wzoru

Korzystając z własności macierzy symetrycznej wiemy, że wartość przecięcia 7 kolumny z 8 wierszem ma taką samą wartość jak przecięcie 8 kolumny z 7 wierszem

Uwaga tego nie jestem na 100% pewien, bo w notatkach miałem trochę namieszane

uwaga, ten wzór to moja własna interpretacja, więc każdy używa go na własne ryzyko

zrezygnowałem z indeksów przy oznaczeniu współczynnika indywidualnego h gdyż dla mnie był trochę mylący

Do modelu zawsze wchodzi x_h