Sterowanie Analogowe, 1


Ćwiczenie 6

Mężeński Łukasz Grupa :

Myśliwiec Jacek Poniedziałek 14:15 - 16:00

Papierowki Mateusz

Automatyka i Robotyka

semestr V

**Wszystkie obliczenia wykonane w programie CC

**Wykresy wykreślone na podstawie punktów uzyskanych w programie CC

1. ANALIZA OBIEKTU DANEGO W POSTACI SCHEMATU BLOKOWEGO

1.1 TRANSMITANCJA UKŁADU OTWARTEGO

Aby móc podjąć się analizy tego obiektu wyznaczamy transmitancję zadanego układu bez jednostkowej pętli ujemnego sprzężenia zwrotnego, korzystając z reguły Masona.

OBWODY:

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

ŚCIEŻKI BEZPOŚREDNIE:

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

podstawiając zadane wartości:

0x01 graphic

otrzymuje się:

0x01 graphic

Jak widać analizowany układ jest rzędu trzeciego. Odpowiedź układu w dziedzinie czasu kształtuje się następująco:

0x01 graphic

0x01 graphic

1.2 ANALIZA OBIEKTU PRZED KOREKCJĄ

A) Charakterystyka układu przed korekcją

Układ przed korekcją jest układem stabilnym o trzech biegunach leżących w otwartej lewej półpłaszczyźnie:

( -0.232 , -0.903 , - 3.435 ). Odpowiedź układu na skok jednostkowy osiąga wartość ustaloną, wynoszącą

6.923V. Czas narastania określony jako czas, po którym odpowiedź układu narasta od 10% do 90% wartości ustalonej wynosi 10.5 sekundy. Przeregulowanie nie występuje. Wartość ustalona jest osiągana po czasie około 20 sekund. Podsumowując:

Bieguny : 0x01 graphic

Wartość ustalona: y(tus) = 6.923 V

Czas narastania : tr = 10.5 s

B) Odpowiedź układu na skok jednostkowy

Odpowiedź układu na skok jednostkowy kształtuje się następująco:

0x01 graphic

C) Charakterystyki Bodego (Amplitudowa i Fazowa)

0x01 graphic

0x01 graphic

D) Charakterystyka Nyquista

0x01 graphic

1.3 TRANSMITANCJA UKŁADU ZAMKNIĘTEGO (BEZ REGULATORA)

Po zamknięciu układu pętlą jednostkowego ujemnego sprzężenia zwrotnego uzyskujemy układ jak na rysunku 1.

0x01 graphic

Rys. 1

Analizowany układ po zamknięciu pętli sprzężenia zwrotnego.

Zatem transmitancja układu zamkniętego (bez regulatora) przedstawia się następująco:

0x01 graphic

* - oznacza, że jest to transmitancja obiektu z zamkniętą pętlą sprzężenia zwrotnego, ale BEZ regulatora.

Korzystając z kryterium Routha - Hurwitza wyznaczony przedział wzmocnienia K, dla którego układ jest stabilny wynosi:

K 0x01 graphic
(-0.144 ; 1.078)

Ponieważ:

0x01 graphic

odpowiedź tego układu w dziedzinie czasu jest następująca:

0x01 graphic

1.4 ANALIZA OBIEKTU ZAMKNIĘTEGO (BEZ REGULATORA)

A) Charakterystyka układu zamkniętego (bez regulatora)

Układ po zamknięciu pętlą jednostkowego, ujemnego sprzężenia zwrotnego pozostaje stabilny, z biegunami zespolonymi leżącymi w otwartej lewej półpłaszczyźnie ( -0.029+j1.124 , -0.029-j1.124 , -4.511). Odpowiedź układu na skok jednostkowy osiąga wartość ustaloną (± 5%) po czasie około 103 sekund. Wartość ta wynosi 0.873 V. Maksimum przeregulowania wynosi 1.646 V i występuje w chwili tm=4.45 sekundy. Czas narastania wynosi około 3 sekund (czas po którym osiągana jest wartość 90% wartości ustalonej). Podsumowując:

Bieguny : 0x01 graphic

Wartość ustalona: y(tus) = 0.873 V

Maksimum przeregulowania: y(tm) = 1.646 V

Czas narastania : tr = 0.913 s

Czas ustalania : tus = 103 s

Czas wystąpienia maksimum przeregulowania : tm = 4.45 s

Uchyb pozycyjny: 0x01 graphic

Uchyb prędkościowy: 0x01 graphic

Maksimum przeregulowania: 0x01 graphic

B) Odpowiedź układu na skok jednostkowy

0x01 graphic

C) Charakterystyki Bodego (Amplitudowa i Fazowa)

0x01 graphic

0x01 graphic

D) Charakterystyka Nyquista

0x01 graphic

1.5 PROJEKT REGULATORA PID METODĄ LINII PIERWIASTKOWYCH

W tym podpunkcie zostanie zaprojektowany regulator PID, który znajdzie zastosowanie w modyfikacji powyżej analizowanego obiektu. Modyfikacja ta ma polegać na:

- zapewnieniu zapasu fazy 55º

- 4-krotnym przyspieszeniu działania układu

- osiągnięcie możliwie maksymalnego wzrostu dokładności

Analizując układ przed korekcją doszedłem do wniosku, że czas ustalania odpowiedzi obiektu objętego jednostkową pętlą ujemnego sprzężenia zwrotnego wynosi 103 sekundy, a czas narastania 0.913 sekundy. Wymaga się teraz aby czas ustalania odpowiedzi był 4 krotnie krótszy. Transmitancja analizowanego obiektu:

0x01 graphic

Transmitancja regulatora PID umieszczonego szeregowo z obiektem sprowadza się do następującej postaci:

0x01 graphic

zatem zaprojektowanie regulatora sprowadza się do wyznaczenia parametrów kp, ki oraz kd.

Obiekt z regulatorem PID objęty pętlą sprzężenia zwrotnego wygląda jak na Rys.2

0x01 graphic

Rys. 2

Obiekt Gp(s) wraz z regulatorem Gc(s) przy zamkniętej pętli sprzężenia

Czyli transmitancja operatorowa tego obiektu:

0x01 graphic

Zakładam, że o własnościach dynamicznych zamkniętego układu sterowania decyduje para dominujących, sprzężonych biegunów zespolonych transmitancji operatorowej układu. Bieguny te można zapisać w następujący sposób:

0x01 graphic

natomiast:

0x01 graphic

gdzie:

ξ - jest współczynnikiem tłumienia układu, zależnym od zapasu fazy w następujący sposób:

0x01 graphic

τ - jest określone w następujący sposób: 0x01 graphic
, przy czym Ts5% jest 5% czasem ustalania;

Zatem:

0x01 graphic

Czas ustalania Ts5% ma być cztery razy krótszy, czyli: 0x01 graphic
sekundy:

0x01 graphic
s

Na tej podstawie, zespolone, dominujące bieguny transmitancji operatorowej układu są następujące:

0x01 graphic

Przeregulowanie odpowiedzi na skok jednostkowy wynosi:

0x01 graphic

Parametr 0x01 graphic
zostanie dobrany na podstawie wykreślonych linii pierwiastkowych układu zamkniętego. Znając wartość przeregulowania i 5% czasu ustalania odpowiedzi skonstruowanego układu jestem w stanie wyznaczyć obszar, z którego można wybrać wartość wzmocnienia 0x01 graphic
, takiego, że analizowany układ pozostanie stabilny. Obszar ten będzie określony prostymi:

0x01 graphic

0x01 graphic

Współczynnik ki zostanie wyznaczony na podstawie dodatkowego wymagania nałożonego na projektowany układ sterowania. Wymaganie to będzie się opierało na określeniu wymaganej wartości wzmocnienia prędkościowego kv (Wzmocnienia przyspieszeniowego brak). Wzmocnienie to zostało wyznaczone symulacyjnie, jako wartość, która spowoduje maksymalny wzrost dokładności i jest określone wzorem:

0x01 graphic

Jeżeli będziemy wymagać aby nasz układ charakteryzował się możliwie jak najmniejszym wzmocnieniem prędkościowym, przy jak najkorzystniejszych parametrach odpowiedzi, przyjmujemy, że kv=0.3 1/s.

Zatem:

0x01 graphic
1/s

Poniżej wyznaczone są wielkości niezbędne do określenia pozostałych dwóch parametrów (kp oraz kd).

0x01 graphic

Dzięki temu, opierając się wciąż na zasadzie zespolonych biegunów dominujących, mogę wyznaczyć parametry kp oraz kd korzystając z poniższych zależności:

0x01 graphic

0x01 graphic

czyli podstawiając wyznaczone wcześniej wartości, uzyskuję:

0x08 graphic

Odpowiedź tak zaprojektowanego układu jest następująca:

0x01 graphic

Jak widać przy wyznaczonych nastawach regulatora PID osiągnięto:

- przyspieszenie działania układu charakteryzujące się 4 krotnym skróceniem czasu ustalania (około 25 sekund);

- usunięto z układu uchyb ustalony;

- maksymalna wartość przeregulowania wynosi 1.09 V ,czyli 9% względem wartości ustalonej (bez regulatora

PID przeregulowanie sięgało 77% wartości ustalonej);

- współczynnik tłumienia zaprojektowanego układu wynosi : 0x01 graphic
;

- zapas fazy zaprojektowanego układu jest trochę większy niż wymagany i wynosi 0x01 graphic
stało się tak,

ponieważ metoda linii pierwiastkowych i tym samym przyjęcie zasady dominujących biegunów zespolonych są

metodami przybliżonymi;

- zapas wzmocnienia układu wynosi: 0x01 graphic
dB

1.6 PROJEKTY STEROWNIKÓW P, PI ORAZ PID METODĄ ZIEGLERA -

NICHOLSA (PIERWSZEGO I DRUGIEGO RODZAJU) .

METODA ZIEGLERA - NICHOLSA PIERWSZEGO RODZAJU

Reguła ta opiera się na nastawianiu sterowników PID według kształtu odpowiedzi skokowej obiektu. Przyjmuje się również, że w metodzie tej korzysta się z dwóch parametrów:

α - maksymalne nachylenie stycznej do odpowiedzi skokowej obiektu;

T - moment w której ta styczna przecina oś czasu

Transmitancja sterownika dana jest wyrażeniem:

0x01 graphic

Przyjmuje się także, że transmitancja obiektu może być aproksymowana wyrażeniem:

0x01 graphic

Opierając się na tej metodzie wyznaczone parametry mają wartość:

α = 55o

T = 2.2 sek.

A) STEROWNIK P

0x01 graphic

B) STEROWNIK PI

0x01 graphic

C) STEROWNIK PID

0x01 graphic

METODA ZIEGLERA - NICHOLSA DRUGIEGO RODZAJU

Metoda ta polega na nastawianiu sterowników PID według parametrów drgań granicznych. Stosuje się tutaj następujące parametry, od których uzależnia się nastawy określonych sterowników:

kg - wzmocnienie sterownika wywołujące określone drgania;

Tg - okres tych drgań;

Wzmocnieniem granicznym obiektu (analizowanego w punkcie 1.3 i 1.4) jest wartość: kg = 1.078. Wartość okresu drgań granicznych: Tg = 5.44 sekundy.

A) STEROWNIK P

0x01 graphic

B) STEROWNIK PI

0x01 graphic

C) STEROWNIK PID

0x01 graphic

Poniżej przedstawiona jest tabela prezentująca wyznaczone wartości nastaw sterowników wraz z przeregulowaniami:

Sterownik

Pierwszy rodzaj

Drugi rodzaj

kc

Ti

Td

0x01 graphic
[%]

kc

Ti

Td

0x01 graphic
[%]

P

0.318

oo

0

21.5

0.539

oo

0

46,8

PI

0.286

7.26s

0

4.7

0.485

0.179

0

PID

0.381

4.4s

1.1s

13

0.646

2.72s

0.68s

53

2. ANALIZA OBIEKTU DANEGO MODELEM STANOWYM

Zadany obiekt do analizy ma postać:

0x01 graphic

2.1 ANALIZA OBIEKTU

Aby dokonać analizy wstępnej obiektu, korzystając z programu CC sprowadziliśmy powyższy model stanowy do postaci CCF (kanonicznej formy sterowalnej) i na jej podstawie określiliśmy transmitancję obiektu, która przedstawia się następująco:

0x01 graphic

Wykonując test Routha stabilności obiektu otwartego uzyskaliśmy następujący zbiór biegunów:

0x01 graphic

Zerami tego obiektu są punkty:

0x01 graphic

Zatem ponieważ występują bieguny, które leżą w otwartej prawej półpłaszczyźnie, stwierdzamy, że układ jest niestabilny. Zamykając układ jednostkową pętlą ujemnego sprzężenia zwrotnego od wyjścia uzyskujemy transmitację układu zamkniętego:

0x01 graphic

Wykonując po raz kolejny test Routha uzyskujemy bieguny:

0x01 graphic

Zamknięty układ (wciąż niestabilny) odpowiada na skok jednostkowy w następujący sposób:

0x01 graphic

Jak widać zastosowanie ujemnego sprzężenia zwrotnego od wyjścia nie ustabilizuje obiektu. Zatem nie ma sensu określanie wskaźników odpowiedzi tego układu. Możemy jednak określić na podstawie zadanego modelu stanowego obiektu , czy układ jest sterowalny i/lub obserwowalny, gdzie obserwowalność i sterowalność obiektu jest warunkiem koniecznym do wyznaczenia wektora sprzężeń od stanu i wektora wzmocnień obserwatora.

Test Sterowalności:

Sterowalność obiektu wyznacza się określając wyznacznik z macierzy skonstruowanej na podstawie macierzy A oraz B:

0x01 graphic

0x01 graphic

Zatem obiekt jest sterowalny.

Test Obserwowalności:

Obserwowalność obiektu wyznaczymy na podstawie macierzy V wyznaczonej w oparciu o macierze A i C:

0x01 graphic

czyli podstawiając wartości liczbowe:

0x01 graphic

Obiekt jest także obserwowalny.

2.2 SYNTEZA STEROWANIA ZE SPRZĘŻENIEM OD STANU

Ponieważ objęcie obiektu ujemnym, jednostkowym sprzężeniem zwrotnym nie ustabilizowało obiektu,

zamiast tego zastosujemy odpowiednie sprzężenia od stanów przesuwając bieguny obiektu leżące w otwartej prawej półpłaszczyźnie na „lustrzane” pozycje w lewej półpłaszczyźnie zmiennej zespolonej s.

Opierając się na równaniu charakterystycznym obiektu z niewiadomymi współczynnikami wektora k, związanego z wejściem w następujący sposób:

0x01 graphic

uzyskuje się równanie charakterystyczne o postaci:

0x01 graphic

oczekiwane równanie charakterystyczne jest następujące:

0x01 graphic

Jesteśmy wstanie wyznaczyć wektor sprzężeń stanów K :

a) na podstawie przyrównania współczynników przy odpowiednich potęgach:

0x01 graphic

b) natomiast obliczenia w programie CC dały w rezultacie wektor K o współczynnikach:

0x01 graphic

Obiekt z uwzględnieniem sprzężenia od stanów jest stabilny i ma postać:

0x01 graphic

Oto odpowiedź badanego układu (otwartego) po uwzględnieniu sprzężenia od stanów:

0x01 graphic

Natomiast poniżej przedstawiona jest odpowiedź układu jak powyżej ale z zamkniętą pętlą sprzężenia od wyjścia:

0x01 graphic

2.3 SYNTEZA OBSERWATORA PEŁNEGO RZĘDU

Ponieważ analizowany obiekt jest obserwowalny, co wykazaliśmy w punkcie 2.1, więc istnieje możliwość zaprojektowania obserwatora stanu. Uchyb estymacji stanu będzie dążył asymptotycznie do zera, wtedy i tylko wtedy, gdy wartości własne macierzy [A - LCT] będą leżały w lewej półpłaszczyźnie zmiennej zespolonej s. Projekt obserwatora stanu sprowadza się zatem do wyznaczenia wektora L. Należy przy tym pamiętać, że obserwator powinien być szybszy od obiektu, czyli jego bieguny powinny znajdować się w większej odległości od początku układu współrzędnych w głąb lewej półpłaszczyzny, niż bieguny obiektu.

Zakładamy, że żądanymi biegunami obserwatora są punkty: (-10,-4,-4,-12,-100)

Zatem dla takich biegunów obserwatora, wektor wzmocnień tego obserwatora, wyznaczony przy pomocy programu CC poleceniem POLE PLACEMENT, przedstawia się następująco:

0x01 graphic

Takie wartości wzmocnienia obserwatora zapewniają położenie wartości własnych macierzy [A - LCT] w lewej półpłaszczyźnie.

2.4 SYNTEZA STEROWANIA ZE SPRZĘŻENIEM OD ESTYMATY STANU

Sprzężenie od estymaty stanu polega na zaprojektowaniu takiego wektora sprzężeń który będzie sprzęgał stany estymowane przez obserwator (takie postępowanie jest uzasadnione wtedy, gdy nie wszystkie stany obiektu są dostępne). I tak:

Model sterowanego obiektu:

0x01 graphic

Model obserwatora:

0x01 graphic

Błąd estymacji stanu:

0x01 graphic

Model zamkniętego układu:

0x01 graphic

0x01 graphic

Jeżeli przyjmie się, że układ jest sterowany sygnałem:

0x01 graphic

(sprzężenie jest od estymaty stanu, a nie bezpośrednio od stanu obiektu), to po odpowiednich obliczeniach w programie CC, uzyskuje się następujący wektor wzmocnień sprzężeń od estymat stanów:

0x01 graphic

2.5 SYNTEZA STEROWANIA OPTYMALNEGO ZE WZGLĘDU NA

KWADRATOWE WSKAŹNIKI JAKOŚCI

Synteza ta opiera się na znalezieniu optymalnego sterowania u*(t), przy czym:

0x01 graphic

przy czym macierz P jest dodatnio półokreślona i ma następujące własności:

0x01 graphic

I macierz tą wyznaczamy rozwiązując równanie Riccatiego:

0x01 graphic

gdzie:

Q - macierz jednostkowa;

R - jest skalarem: R=1;

Opierając się na obliczeniach w programie CC, po przyjęciu kilku wartości 0x01 graphic
uzyskaliśmy następujące wartości wektora statycznego, liniowego sprzężenia od stanu:

0x01 graphic

F

1

-128.4769

-149.6760

-31.5360

222.6808

620.8788

50

-125.2268

-144.1257

-26.5215

224.0201

616.3842

500

-125.1636

-144.0179

-26.4241

224.0461

616.2969

1000

-125.1601

-144.0119

-26.4187

224.0475

616.2921

-500

-125.1496

-143.9940

-26.4025

224.0518

616.2775

-1000

-125.1531

-144.0000

-26.4079

224.0504

616.2823

Czyli w ten sposób osiąga się zmodyfikowane równania stanowe obiektu, o postacie:

0x01 graphic

Gdzie przy określonym wektorze F układ osiąga maksymalną jakość sterowania ze względu na kwadratowe wskaźniki sterowania.

* * *

LABORATORIUM STEROWANIA ANALOGOWEGO

10

0x01 graphic



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
sterowanie - projekt 2 -2, Edukacja, studia, Semestr V, Sterowanie Analogowe, Laboratorium
ćwiczenie 6 - projekt, Edukacja, studia, Semestr V, Sterowanie Analogowe, Laboratorium
4 Sterowniki PLC wejściawyjścia analogowe
4 Sterowniki PLC wejściawyjścia analogowe
Układy Napędowe oraz algorytmy sterowania w bioprotezach
PODSTAWY STEROWANIA SILNIKIEM INDUKCYJNYM
Sterowce
WYKŁAD 02 SterowCyfrowe
wykład 4 Sterowanie zapasami
Sterowniki PLC

więcej podobnych podstron