Ćwiczenie 6
Mężeński Łukasz Grupa :
Myśliwiec Jacek Poniedziałek 14:15 - 16:00
Papierowki Mateusz
Automatyka i Robotyka
semestr V
**Wszystkie obliczenia wykonane w programie CC
**Wykresy wykreślone na podstawie punktów uzyskanych w programie CC
1. ANALIZA OBIEKTU DANEGO W POSTACI SCHEMATU BLOKOWEGO
1.1 TRANSMITANCJA UKŁADU OTWARTEGO
Aby móc podjąć się analizy tego obiektu wyznaczamy transmitancję zadanego układu bez jednostkowej pętli ujemnego sprzężenia zwrotnego, korzystając z reguły Masona.
OBWODY:
ŚCIEŻKI BEZPOŚREDNIE:
podstawiając zadane wartości:
otrzymuje się:
Jak widać analizowany układ jest rzędu trzeciego. Odpowiedź układu w dziedzinie czasu kształtuje się następująco:
1.2 ANALIZA OBIEKTU PRZED KOREKCJĄ
A) Charakterystyka układu przed korekcją
Układ przed korekcją jest układem stabilnym o trzech biegunach leżących w otwartej lewej półpłaszczyźnie:
( -0.232 , -0.903 , - 3.435 ). Odpowiedź układu na skok jednostkowy osiąga wartość ustaloną, wynoszącą
6.923V. Czas narastania określony jako czas, po którym odpowiedź układu narasta od 10% do 90% wartości ustalonej wynosi 10.5 sekundy. Przeregulowanie nie występuje. Wartość ustalona jest osiągana po czasie około 20 sekund. Podsumowując:
Bieguny :
Wartość ustalona: y(tus) = 6.923 V
Czas narastania : tr = 10.5 s
B) Odpowiedź układu na skok jednostkowy
Odpowiedź układu na skok jednostkowy kształtuje się następująco:
C) Charakterystyki Bodego (Amplitudowa i Fazowa)
D) Charakterystyka Nyquista
1.3 TRANSMITANCJA UKŁADU ZAMKNIĘTEGO (BEZ REGULATORA)
Po zamknięciu układu pętlą jednostkowego ujemnego sprzężenia zwrotnego uzyskujemy układ jak na rysunku 1.
Rys. 1
Analizowany układ po zamknięciu pętli sprzężenia zwrotnego.
Zatem transmitancja układu zamkniętego (bez regulatora) przedstawia się następująco:
* - oznacza, że jest to transmitancja obiektu z zamkniętą pętlą sprzężenia zwrotnego, ale BEZ regulatora.
Korzystając z kryterium Routha - Hurwitza wyznaczony przedział wzmocnienia K, dla którego układ jest stabilny wynosi:
K
(-0.144 ; 1.078)
Ponieważ:
odpowiedź tego układu w dziedzinie czasu jest następująca:
1.4 ANALIZA OBIEKTU ZAMKNIĘTEGO (BEZ REGULATORA)
A) Charakterystyka układu zamkniętego (bez regulatora)
Układ po zamknięciu pętlą jednostkowego, ujemnego sprzężenia zwrotnego pozostaje stabilny, z biegunami zespolonymi leżącymi w otwartej lewej półpłaszczyźnie ( -0.029+j1.124 , -0.029-j1.124 , -4.511). Odpowiedź układu na skok jednostkowy osiąga wartość ustaloną (± 5%) po czasie około 103 sekund. Wartość ta wynosi 0.873 V. Maksimum przeregulowania wynosi 1.646 V i występuje w chwili tm=4.45 sekundy. Czas narastania wynosi około 3 sekund (czas po którym osiągana jest wartość 90% wartości ustalonej). Podsumowując:
Bieguny :
Wartość ustalona: y(tus) = 0.873 V
Maksimum przeregulowania: y(tm) = 1.646 V
Czas narastania : tr = 0.913 s
Czas ustalania : tus = 103 s
Czas wystąpienia maksimum przeregulowania : tm = 4.45 s
Uchyb pozycyjny:
Uchyb prędkościowy:
Maksimum przeregulowania:
B) Odpowiedź układu na skok jednostkowy
C) Charakterystyki Bodego (Amplitudowa i Fazowa)
D) Charakterystyka Nyquista
1.5 PROJEKT REGULATORA PID METODĄ LINII PIERWIASTKOWYCH
W tym podpunkcie zostanie zaprojektowany regulator PID, który znajdzie zastosowanie w modyfikacji powyżej analizowanego obiektu. Modyfikacja ta ma polegać na:
- zapewnieniu zapasu fazy 55º
- 4-krotnym przyspieszeniu działania układu
- osiągnięcie możliwie maksymalnego wzrostu dokładności
Analizując układ przed korekcją doszedłem do wniosku, że czas ustalania odpowiedzi obiektu objętego jednostkową pętlą ujemnego sprzężenia zwrotnego wynosi 103 sekundy, a czas narastania 0.913 sekundy. Wymaga się teraz aby czas ustalania odpowiedzi był 4 krotnie krótszy. Transmitancja analizowanego obiektu:
Transmitancja regulatora PID umieszczonego szeregowo z obiektem sprowadza się do następującej postaci:
zatem zaprojektowanie regulatora sprowadza się do wyznaczenia parametrów kp, ki oraz kd.
Obiekt z regulatorem PID objęty pętlą sprzężenia zwrotnego wygląda jak na Rys.2
Rys. 2
Obiekt Gp(s) wraz z regulatorem Gc(s) przy zamkniętej pętli sprzężenia
Czyli transmitancja operatorowa tego obiektu:
Zakładam, że o własnościach dynamicznych zamkniętego układu sterowania decyduje para dominujących, sprzężonych biegunów zespolonych transmitancji operatorowej układu. Bieguny te można zapisać w następujący sposób:
natomiast:
gdzie:
ξ - jest współczynnikiem tłumienia układu, zależnym od zapasu fazy w następujący sposób:
τ - jest określone w następujący sposób:
, przy czym Ts5% jest 5% czasem ustalania;
Zatem:
Czas ustalania Ts5% ma być cztery razy krótszy, czyli:
sekundy:
s
Na tej podstawie, zespolone, dominujące bieguny transmitancji operatorowej układu są następujące:
Przeregulowanie odpowiedzi na skok jednostkowy wynosi:
Parametr
zostanie dobrany na podstawie wykreślonych linii pierwiastkowych układu zamkniętego. Znając wartość przeregulowania i 5% czasu ustalania odpowiedzi skonstruowanego układu jestem w stanie wyznaczyć obszar, z którego można wybrać wartość wzmocnienia
, takiego, że analizowany układ pozostanie stabilny. Obszar ten będzie określony prostymi:
Współczynnik ki zostanie wyznaczony na podstawie dodatkowego wymagania nałożonego na projektowany układ sterowania. Wymaganie to będzie się opierało na określeniu wymaganej wartości wzmocnienia prędkościowego kv (Wzmocnienia przyspieszeniowego brak). Wzmocnienie to zostało wyznaczone symulacyjnie, jako wartość, która spowoduje maksymalny wzrost dokładności i jest określone wzorem:
Jeżeli będziemy wymagać aby nasz układ charakteryzował się możliwie jak najmniejszym wzmocnieniem prędkościowym, przy jak najkorzystniejszych parametrach odpowiedzi, przyjmujemy, że kv=0.3 1/s.
Zatem:
1/s
Poniżej wyznaczone są wielkości niezbędne do określenia pozostałych dwóch parametrów (kp oraz kd).
Dzięki temu, opierając się wciąż na zasadzie zespolonych biegunów dominujących, mogę wyznaczyć parametry kp oraz kd korzystając z poniższych zależności:
czyli podstawiając wyznaczone wcześniej wartości, uzyskuję:
Odpowiedź tak zaprojektowanego układu jest następująca:
Jak widać przy wyznaczonych nastawach regulatora PID osiągnięto:
- przyspieszenie działania układu charakteryzujące się 4 krotnym skróceniem czasu ustalania (około 25 sekund);
- usunięto z układu uchyb ustalony;
- maksymalna wartość przeregulowania wynosi 1.09 V ,czyli 9% względem wartości ustalonej (bez regulatora
PID przeregulowanie sięgało 77% wartości ustalonej);
- współczynnik tłumienia zaprojektowanego układu wynosi :
;
- zapas fazy zaprojektowanego układu jest trochę większy niż wymagany i wynosi
stało się tak,
ponieważ metoda linii pierwiastkowych i tym samym przyjęcie zasady dominujących biegunów zespolonych są
metodami przybliżonymi;
- zapas wzmocnienia układu wynosi:
dB
1.6 PROJEKTY STEROWNIKÓW P, PI ORAZ PID METODĄ ZIEGLERA -
NICHOLSA (PIERWSZEGO I DRUGIEGO RODZAJU) .
METODA ZIEGLERA - NICHOLSA PIERWSZEGO RODZAJU
Reguła ta opiera się na nastawianiu sterowników PID według kształtu odpowiedzi skokowej obiektu. Przyjmuje się również, że w metodzie tej korzysta się z dwóch parametrów:
α - maksymalne nachylenie stycznej do odpowiedzi skokowej obiektu;
T - moment w której ta styczna przecina oś czasu
Transmitancja sterownika dana jest wyrażeniem:
Przyjmuje się także, że transmitancja obiektu może być aproksymowana wyrażeniem:
Opierając się na tej metodzie wyznaczone parametry mają wartość:
α = 55o
T = 2.2 sek.
A) STEROWNIK P
B) STEROWNIK PI
C) STEROWNIK PID
METODA ZIEGLERA - NICHOLSA DRUGIEGO RODZAJU
Metoda ta polega na nastawianiu sterowników PID według parametrów drgań granicznych. Stosuje się tutaj następujące parametry, od których uzależnia się nastawy określonych sterowników:
kg - wzmocnienie sterownika wywołujące określone drgania;
Tg - okres tych drgań;
Wzmocnieniem granicznym obiektu (analizowanego w punkcie 1.3 i 1.4) jest wartość: kg = 1.078. Wartość okresu drgań granicznych: Tg = 5.44 sekundy.
A) STEROWNIK P
B) STEROWNIK PI
C) STEROWNIK PID
Poniżej przedstawiona jest tabela prezentująca wyznaczone wartości nastaw sterowników wraz z przeregulowaniami:
Sterownik |
Pierwszy rodzaj |
|
Drugi rodzaj |
|
||||
|
kc |
Ti |
Td |
|
kc |
Ti |
Td |
|
P |
0.318 |
oo |
0 |
21.5 |
0.539 |
oo |
0 |
46,8 |
PI |
0.286 |
7.26s |
0 |
4.7 |
0.485 |
0.179 |
0 |
|
PID |
0.381 |
4.4s |
1.1s |
13 |
0.646 |
2.72s |
0.68s |
53 |
2. ANALIZA OBIEKTU DANEGO MODELEM STANOWYM
Zadany obiekt do analizy ma postać:
2.1 ANALIZA OBIEKTU
Aby dokonać analizy wstępnej obiektu, korzystając z programu CC sprowadziliśmy powyższy model stanowy do postaci CCF (kanonicznej formy sterowalnej) i na jej podstawie określiliśmy transmitancję obiektu, która przedstawia się następująco:
Wykonując test Routha stabilności obiektu otwartego uzyskaliśmy następujący zbiór biegunów:
Zerami tego obiektu są punkty:
Zatem ponieważ występują bieguny, które leżą w otwartej prawej półpłaszczyźnie, stwierdzamy, że układ jest niestabilny. Zamykając układ jednostkową pętlą ujemnego sprzężenia zwrotnego od wyjścia uzyskujemy transmitację układu zamkniętego:
Wykonując po raz kolejny test Routha uzyskujemy bieguny:
Zamknięty układ (wciąż niestabilny) odpowiada na skok jednostkowy w następujący sposób:
Jak widać zastosowanie ujemnego sprzężenia zwrotnego od wyjścia nie ustabilizuje obiektu. Zatem nie ma sensu określanie wskaźników odpowiedzi tego układu. Możemy jednak określić na podstawie zadanego modelu stanowego obiektu , czy układ jest sterowalny i/lub obserwowalny, gdzie obserwowalność i sterowalność obiektu jest warunkiem koniecznym do wyznaczenia wektora sprzężeń od stanu i wektora wzmocnień obserwatora.
Test Sterowalności:
Sterowalność obiektu wyznacza się określając wyznacznik z macierzy skonstruowanej na podstawie macierzy A oraz B:
Zatem obiekt jest sterowalny.
Test Obserwowalności:
Obserwowalność obiektu wyznaczymy na podstawie macierzy V wyznaczonej w oparciu o macierze A i C:
czyli podstawiając wartości liczbowe:
Obiekt jest także obserwowalny.
2.2 SYNTEZA STEROWANIA ZE SPRZĘŻENIEM OD STANU
Ponieważ objęcie obiektu ujemnym, jednostkowym sprzężeniem zwrotnym nie ustabilizowało obiektu,
zamiast tego zastosujemy odpowiednie sprzężenia od stanów przesuwając bieguny obiektu leżące w otwartej prawej półpłaszczyźnie na „lustrzane” pozycje w lewej półpłaszczyźnie zmiennej zespolonej s.
Opierając się na równaniu charakterystycznym obiektu z niewiadomymi współczynnikami wektora k, związanego z wejściem w następujący sposób:
uzyskuje się równanie charakterystyczne o postaci:
oczekiwane równanie charakterystyczne jest następujące:
Jesteśmy wstanie wyznaczyć wektor sprzężeń stanów K :
a) na podstawie przyrównania współczynników przy odpowiednich potęgach:
b) natomiast obliczenia w programie CC dały w rezultacie wektor K o współczynnikach:
Obiekt z uwzględnieniem sprzężenia od stanów jest stabilny i ma postać:
Oto odpowiedź badanego układu (otwartego) po uwzględnieniu sprzężenia od stanów:
Natomiast poniżej przedstawiona jest odpowiedź układu jak powyżej ale z zamkniętą pętlą sprzężenia od wyjścia:
2.3 SYNTEZA OBSERWATORA PEŁNEGO RZĘDU
Ponieważ analizowany obiekt jest obserwowalny, co wykazaliśmy w punkcie 2.1, więc istnieje możliwość zaprojektowania obserwatora stanu. Uchyb estymacji stanu będzie dążył asymptotycznie do zera, wtedy i tylko wtedy, gdy wartości własne macierzy [A - LCT] będą leżały w lewej półpłaszczyźnie zmiennej zespolonej s. Projekt obserwatora stanu sprowadza się zatem do wyznaczenia wektora L. Należy przy tym pamiętać, że obserwator powinien być szybszy od obiektu, czyli jego bieguny powinny znajdować się w większej odległości od początku układu współrzędnych w głąb lewej półpłaszczyzny, niż bieguny obiektu.
Zakładamy, że żądanymi biegunami obserwatora są punkty: (-10,-4,-4,-12,-100)
Zatem dla takich biegunów obserwatora, wektor wzmocnień tego obserwatora, wyznaczony przy pomocy programu CC poleceniem POLE PLACEMENT, przedstawia się następująco:
Takie wartości wzmocnienia obserwatora zapewniają położenie wartości własnych macierzy [A - LCT] w lewej półpłaszczyźnie.
2.4 SYNTEZA STEROWANIA ZE SPRZĘŻENIEM OD ESTYMATY STANU
Sprzężenie od estymaty stanu polega na zaprojektowaniu takiego wektora sprzężeń który będzie sprzęgał stany estymowane przez obserwator (takie postępowanie jest uzasadnione wtedy, gdy nie wszystkie stany obiektu są dostępne). I tak:
Model sterowanego obiektu:
Model obserwatora:
Błąd estymacji stanu:
Model zamkniętego układu:
Jeżeli przyjmie się, że układ jest sterowany sygnałem:
(sprzężenie jest od estymaty stanu, a nie bezpośrednio od stanu obiektu), to po odpowiednich obliczeniach w programie CC, uzyskuje się następujący wektor wzmocnień sprzężeń od estymat stanów:
2.5 SYNTEZA STEROWANIA OPTYMALNEGO ZE WZGLĘDU NA
KWADRATOWE WSKAŹNIKI JAKOŚCI
Synteza ta opiera się na znalezieniu optymalnego sterowania u*(t), przy czym:
przy czym macierz P jest dodatnio półokreślona i ma następujące własności:
I macierz tą wyznaczamy rozwiązując równanie Riccatiego:
gdzie:
Q - macierz jednostkowa;
R - jest skalarem: R=1;
Opierając się na obliczeniach w programie CC, po przyjęciu kilku wartości
uzyskaliśmy następujące wartości wektora statycznego, liniowego sprzężenia od stanu:
|
F |
||||
1 |
-128.4769 |
-149.6760 |
-31.5360 |
222.6808 |
620.8788 |
50 |
-125.2268 |
-144.1257 |
-26.5215 |
224.0201 |
616.3842 |
500 |
-125.1636 |
-144.0179 |
-26.4241 |
224.0461 |
616.2969 |
1000 |
-125.1601 |
-144.0119 |
-26.4187 |
224.0475 |
616.2921 |
-500 |
-125.1496 |
-143.9940 |
-26.4025 |
224.0518 |
616.2775 |
-1000 |
-125.1531 |
-144.0000 |
-26.4079 |
224.0504 |
616.2823 |
Czyli w ten sposób osiąga się zmodyfikowane równania stanowe obiektu, o postacie:
Gdzie przy określonym wektorze F układ osiąga maksymalną jakość sterowania ze względu na kwadratowe wskaźniki sterowania.
* * *
LABORATORIUM STEROWANIA ANALOGOWEGO
10