Głowicki Artur Gdańsk 2000.01.25

Telekomunikacja sem.V, gr.II

Laboratorium cyfrowego przetwarzania sygnałów.

Przekształcenie analogowo - cyfrowe sygnału

Sygnały elektryczne, które często mają postać analogową, przekształcane są w mikroprocesorowych urządzeniach pomiarowych z formy ciągłej na postać dyskretną. Dyskretyzacja sygnału dokonywana jest metodą próbkowania, czyli ustalenia wartości sygnału w dyskretnych chwilach czasowych. Powszechnie stosuje się próbkowanie równomierne w chwilach nT_s, gdzie n jest numerem próbki uzyskanego ciągu, a f_s = 1/T_s to częstotliwość próbkowania.

Próbkowanie sygnału analogowego

Matematycznie próbkowanie można zapisać jako przemnożenie funkcji czasowej przez funkcję próbkującą, będącą nieskończonym szeregiem funkcji delta:

gdzie : n -indeks czasu (numer chwili czasu)

Ze względu na fakt, że transformatą Fouriera ciągu impulsów δ(t) w dziedzinie czasu jest ciąg impulsów jednostkowych w dziedzinie widma, widmo sygnału próbkowanego F_S (jω) jest określone następująca zależnością (iloczyn postaci czasowych zmienia się w splot w dziedzinie widma) :

gdzie: k - indeks częstotliwości

F(jω)- widmo sygnału f(t)

Zależność ta pozwala bezpośrednio zobrazować widmo próbkowanego sygnału. Podstawowemu widmu które rozciąga się w zakresie od -ω_M do ω_M, towarzyszą jego repliki wokół wielokrotności pulsacji próbkowania. Wynika to z faktu, że dokonanie obrotu wskazu na płaszczyźnie zespolonej o kąt 2Π daje za każdym razem identyczną sytuację wyjściową do analizy widmowej i w efekcie powoduje wyznaczenie takiej samej postaci widma.

Proces powstawania replik po spróbkowaniu sygnału

Należy zauważyć, że gdy nie jest spełniony warunek Nyquista (mówiący o tym że sygnał można bezbłędnie odtworzyć w oparciu o ciąg jego równoległych, okresowych próbek gdy częstotliwość próbkowania jest co najmniej dwukrotnie większa niż częstotliwość najwyższej harmonicznej występującej w próbkowanym sygnale), następuje nakładanie się widm sygnału spróbkowanego zwane zjawiskiem aliasingu. Przy próbkowaniu sygnału harmonicznego każda połówka okresu tego sygnału powinna być reprezentowana przez więcej, niż jedną próbkę. Jeżeli częstotliwość takiego sygnału jest zbyt duża w stosunku do częstotliwości próbkowania, to przebieg próbkowany zostanie zinterpretowany jako sygnał o niższej częstotliwości, niż sygnał oryginalny. Na płaszczyźnie zespolonej pulsacje o wartości ω>0,5ω_S można interpretować, jako pulsacje ujemne. Może to spowodować błędy w wyznaczaniu widma takiego sygnału, które są zauważalne w postaci nakładania się dodatnich i ujemnych połówek jego obrazów.

Zjawisko Aliasingu

Aby zapobiec występowaniu zjawiska aliasingu stosuje się specjalne filtry dolnoprzepustowe (antyaliasingowe). W procesie próbkowania zakłada się, że częstotliwość próbkowania musi być wyższa od podwojonej górnej częstotliwości granicznej pasma sygnału użytecznego, nie zaś od częstotliwości najwyższej składowej występującej w widmie sygnału. Konsekwencją takiego założenia jest konieczność ograniczenia pasma za pomocą filtracji dolnoprzepustowej na wypadek, gdyby w rzeczywistym sygnale występowały jednak składowe o częstotliwościach wyższych od założonych.

Standardowo w procesie próbkowania używa się następujących częstotliwości próbkowania: 8000 Hz, 11025 Hz, 22050 Hz, 41100 Hz i 48000 Hz.

W trakcie procesu próbkowania sygnał analogowy poddawany jest także procesowi Kwantowania

Ilustracja operacji kwantowania równomiernego.

Kwantowanie pozwala zapisać wartość sygnału w postaci binarnej, lecz jednocześnie powoduje, że zbiór dostępnych wartości ograniczony jest do poziomów kwantowania. Ilość poziomów kwantowania zależy od ilości bitów n, na których zapamiętywana będzie informacja i wynosi 2ⁿ-1. Każdą próbkę x'(n) po skwantowaniu można zatem przedstawić jako

x'(n) = x(n) + e(n) gdzie e(n) jest bezwzględnym błędem kwantowania n-tej próbki. Szereg {e(n)} nazywany jest szumem kwantowania, a jego poziom określa stosunek energii sygnału do szumu SNR.

Wynikiem kwantowania sygnału dyskretnego jest zniwelowanie łagodnych zmian wartości próbek pomiędzy poziomami kwantowania (tak jakby występowały szybkie zmiany sygnału), co w dziedzinie częstotliwości powoduje pojawienie się harmonicznych wyższego rzędu. Kwantowanie jest zatem następną przyczyną zniekształceń pojawiających się w widmie częstotliwościowym sygnału okresowego. Poziom ten można zmniejszać stosując przetworniki a/c o większej rozdzielczości (wskaźnik SNR wyrażony w dB jest proporcjonalny do ilości użytych bitów).

Również w zależności od wartości poziomów kwantowania stosuje się różne rodzaje kwantyzerów.

Sygnał oryginalny:

Sygnał skwantowany kwantyzerem liniowym:

Sygnał skwantowany kwantyzerem nieliniowym:

Sygnał skwantowany kwantyzerem Lz:

Można zatem zauważyć, że różne typy kwantyzacji należy stosować do różnych typów sygnałów. Na przykład inny kwantyzer należy zastosować dla sygnału o dużej amplitudzie, a inny dla sygnału w którym występują zarówno duże amplitudy jak i miejsca gdzie przebieg ma bardzo małe wartości. Jest to dobrze zilustrowane na podstawie przebiegów uzyskanych przez nas na ćwiczeniach. Można zauważyć, że nie wszystkie rodzaje kwantyzacji radzą sobie dobrze z sinusoida gasnąca, jak i z nałożeniem się sinusoid o różnych amplitudach.

---