ÿþ6 . R ó w n a n i a n i e l i n i o w e i i c h u k Ba d y
T a c z [ w y k Ba d u b d z i e p o [w i c o n a z a g a d n i e n i u w y z n a c z a n i a m i e j s c z e r o w y c h n i e l i n i o w y c h f u n k c j i s k a l a r n y c h i
w e k t o r o w y c h , t z n . r o z w i z y w a n i u r ó w n a Dp o s t a c i
f ( x ) = 0 ( 7 8 )
g d z i e f ( x ) = [ f 1 ( x ) ; f 2 ( x ) ; : : : ; f n ( x ) ] T j e s t n - w y m i a r o w ( l · n < 1 ) f u n k c j r z e c z y w i s t n z m i e n n y c h r z e c z y -
w i s t y c h x 1 ; x 2 ; : : : ; x n , t z n . x = [ x 1 ; x 2 ; : : : ; x n ] T . Z a k Ba d a m y , |e f j e s t f u n k c j o k r é s l o n w p e w n y m o t w a r t y m
p o d z b i o r z e D p r z e s t r z e n i R n i ze m a w t y m z b i o r z e m i e j s c e z e r o w e ® ( t z n . ® 2 D o r a z f ( ® ) = 0 ) . N a o g ó B z a -
Bo |e n i e t o b d z i e j e s z c z e w z m a c n i a n e |d a n i e m d o s t a t e c z n e j r e g u l a r n o c i f u n k c j i f w D o r a z o k r e [l e n i e m k r o t n o c i
h i n z e r a
@ f i
® . P r z e d e w s z y s t k i m o m ó w i m y w y z n a c z a n i e z e r j e d n o k r o t n y c h ( p r o s t y c h ) , t z n . t a k i c h , |e j a k o b i a n f 0 ( x ) =
@ x j i ; j = 1
j e s t n i e o s o b l i w y . W p r z y p a d k u s k a l a r n y m ( n = 1 ) w a r u n e k t e n o z n a c z a o c z y w i c i e , |e f 0 ( ® ) = 0 .
6
N i e k a |d e r ó w n a n i e p o s t a c i ( 7 8 ) n i e d a j e s i r o z w i z a d o k Ba d n i e ( d o t y c z y t o w i k s z o [c i r ó w n a D p r z e s t p n y c h o r a z
d o w o l n y c h r ó w n a D a l g e b r a i c z n y c h s t o p n i w y |s z e g o n i | c z w a r t y ) . W ó w c z a s s t o s u j e s i m e t o d y i t e r a c y j n e k o n s t r u u j c e
n i e s k o c z o n e c i g i f x k g 1 p u n k t ó w p r z e s t r z e n i R n z b i e |n e p r z y p e w n y c h z a Bo |e n i a c h d o r o z w i z a n i a ® . W i e k s z o [
k = 0
z n a n y c h p r a k t y c z n i e u |y t e c z n y c h m e t o d i t e r a c y j n y c h j e s t s t a c j o n a r n a . P r z e z s t a c j o n a r n m e t o d i t e r a c y j n r o z u m i e m y
m e t o d , w k t ó r e j k a |d e p r z y b l i |e n i e x k k o n s t r u o w a n e j e s t w e d Bu g t e j s a m e j r e g u By , n i e z a l e |n i e o d i n d e k s u k . D o k Ba d -
n i e j , m e t o d a s t a c j o n a r n a ' g e n e r u j e c i a g p u n k t ó w f x k g s p e Bn i a j c y c h z a l e |n o [ t y p u
x k + 1 = ' ( x k ; x k ¡ 1 ; : : : ; x k ¡ l ; < ( x k ; x k ¡ 1 ; : : : ; x k ¡ l ; f ) ) ( 7 9 )
d l a k = l ; l + 1 ; : : : . ' j e s t p e w n y m o p e r a t o r e m z w . f u n k c j i t e r a c y j n , a < o z n a c z a z b i ó r i n f o r m a c j i o f u n k c j i f , z
k t ó r y c h w k a |d y m k r o k u k o r z y s t a m e t o d a ' ( w a r t o [c i f u n k c j i f i j e j p o c h o d n y c h ) .
J e |e l i w e w z o r z e ( 7 9 ) p a r a m e t r l = 0 , c z y l i x k + 1 = ' ( x k ) , c o o z n a c z a , |e x k + 1 z a l e |y t y l k o o d i n f o r m a c j i o b l i c -
z o n e j w p u n k c i e x k , t o m e t o d a ' j e s t j e d n o p u n k t o w a b e z p a m i c i . J z e l i l > 0 , t z n . x k + 1 = ' ( x k ; x k ¡ 1 ; : : : ; x k ¡ l ) , t o
' j e s t m e t o d j e d n o p u n k t o w z p a m i c i . N a t o m i a s t j e [l i x k + 1 o k r e [l a s i n a p o d s t a w i e n o w e j i n f o r m a c j i w p u n k t a c h
x k ; w 1 ( x k ) ; : : : ; w m ( x k ) ( m ¸ 1 ) , t o ' n a z y w a s i m e t o d w i e l o p u n k t o w . O c z y w i [c i e i s t n i e j t e | m e t o d y w i e l o p u n k -
t o w e z p a m i c i .
6 . 1 . Z b i e |n o [ s t a c j o n a r n y c h m e t o d i t e r a c y j n y c h
D E F I N I C J A 4 6 . N i e c h ® 2 R n i x k 2 R n d l a k = 0 ; 1 ; : : : . M ó w i m y , |e m e t o d a i t e r a c y j n a o k r e [l o n a p r z e z f u n k c j
i t e r a c y j n ' j e s t z b i e |n a , j e [l i c i g f x k g p r z e z n i g e n e r o w a n y j e s t z b i e |n y d o ® , t z n .
l i m k x k ¡ ® k = 0 : ( 8 0 )
k ! 1
N i e s t e t y , n i e w i e l e m e t o d i t e r a c y j n y c h p o s i a d a t w Ba s n o [, |e k o n s t r u o w a n y c i g p r z y b l i |e D f x k g j e s t z b i e |n y
d o r o z w i z a n i a ® p r z y d o w o l n y c h p r z y b l i |e n i a c h p o c z t k o w y c h z e z b i o r u D . M e t o d y t a k i e o k r é s l a m y j a k o z b i e |n e
g l o b a l n i e , w o d r ó |n i e n i u o d z b i e |n y c h l o k a l n i e , t z n . t a k i c h , d l a k t ó r y c h p r z y b l i |e n i a p o c z t k o w e m u s z n a l z e d o
p e w n e g o d o s t a t e c z n i e m a Be g o o t o c z e n i a p u n k t u ® .
D E F I N I C J A 4 7 . J e |e l i d l a k a |d e j f u n k c j i f n a l e |c e j d o p e w n e j k l a s y F p o s i a d a j c e j m i e j s c e z e r o w e ® 2 D ( f )
i s t n i e j e l i c z b a d o d a t n i a ¡ t a k a , |e d l a k a |d e g o u k Ba d u r ó |n y c h p r z y b l i |e D p o c z t k o w y c h n a l e |c y c h d o k u l i I ( ® ; ¡ ) =
f x 2 R n : k x ¡ ® k · ¡ g c i g f x k g g e n e r o w a n y p r z e z m e t o d ' j e s t z b i e |n y d o ® , t o m ó w i m y , |e m e t o d a ' j e s t
z b i e |n a w k l a s i e F , I ( ® ; ¡ ) n a z y w a m y k u l z b i e |n o [c i ( p r z e d z i a Be m z b i e |n o [c i w p r z y p a d k u s k a l a r n y m ) , a l i c z b ¡
- p r o m i e n i e m z b i e |n o [c i .
U W A G A : ( i ) F n a o g ó B j e s t k l a s f u n k c j i o d p o w i e d n i o r e g u l a r n y c h o z e r z e ® u s t a l o n e j k r o t n o [c i .
( i i ) O c z y w i [c i e k u l a z b i e |n o [c i I ( ® ; ¡ ) m u s i b y z a w a r t a w z b i o r z e D . J é s l i j e s t m u r ó w n a l u b n i e w i e l e o d n i e g o
m n i e j s z a , t o m e t o d u w a |a m y z a z b i e |n g l o b a l n i e .
S z y b k o [ z b i e |n o [c i c i g ó w g e n e r o w a n y c h p r z e z m e t o d i t e r a c y j n j e s t w z a s a d z i e z a l e |n a o d k r o t n o [c i w y z -
n a c z a n e g o m i e j s c a z e r o w e g o . W p r z y p a d k u z e r p r o s t y c h w i e l k o [c i c h a r a k t e r y z u j c t s z y b k o [ j e s t w y k Ba d n i k
z b i e |n o [c i m e t o d y , o k r e [l o n y n a s t p u j c o :
D E F I N I C J A 4 8 . J e [l i m e t o d a i t e r a c y j n a ' j e s t z b i e |n a d o ® o r a z i s t n i e j l i c z b y p ¸ 1 ; C ¸ 0 ( C 2 [ 0 ; 1 ) w
p r z y p a d k u , g d y p = 1 ) t a k i e , |e z a c h o d z i r ó w n o [
k x k + 1 ¡ ® k
l i m = C ; ( 8 1 )
k ! 1 k x k ¡ ® k p
t o m ó w i m y , |e m e t o d a j e s t z b i e |n a z r z d e m p ( l u b |e m e t o d a j e s t r z d u p ) . L i c z b p n a z y w a m y w t e d y r z d e m
( w y k Ba d n i k i e m ) z b i e |n o [c i , a l i c z b C - ( a s y m p t o t y c z n ) s t a Bz b i e |n o [c i .
1
U W A G A : ( i ) D l a p = 1 ; 2 ; 3 z b i e |n o [ m e t o d y o k r e [l a s i o d p o w i e d n i o j a k o l i n i o w , k w a d r a t o w i s z e [c i e n n , j e [l i
1 < p < 2 , t o m ó w i m y o z b i e |n o [c i p o n a d l i n i o w e j .
( i i ) p n i e m u s i b y l i c z b n a t u r a l n , n p . d l a m e t o d z p a m i c i w y k Ba d n i k z b i e |n o [c i n i g d y n i e j e s t l i c z b n a t u r a l n .
( i i i ) W p r z y p a d k u z b i e |n o [c i l i n i o w e j s z y b k o [ z b i e |n o [c i z a l e |y t y l k o o d s t a Be j C , n a t o m i a s t w p r z y p a d k u z b i e |n o [c i
c o n a j m n i e j p o n a d l i n i o w e j , s z y b k o [ z b i z n o [c i o k r e [l a j o b i e s t a Be p i C ( z b i e |n o [ t y m s z y b s z a , i m w i k s z e p ) .
A s y m p t o t y c z n a s t a Ba z b i e |n o [c i m a w p By w n a s z y b k o [ z b i e |n o [c i , a l e n i e t a k i j a k r z d . Z d w ó c h m e t o d o t y m s a m y m
r z d z i e z b i e |n o [c i s z y b s z a j e s t t a , k t ó r a m a m n i e j s z s t a B.
( i v ) M e t o d y i t e r a c y j n e j e d n o p u n k t o w e s n a o g ó B z b i e |n e l i n i o w o , c h y b a |e f u n k c j i t e r a c y j n ' w y b i e r z e s i w p e w i e n
s z c z e g ó l n y s p o s ó b . I s t n i e j e k i l k a o g ó l n y c h s p o s ó b ó w k o n s t r u k c j i m e t o d i t e r a c y j n y c h o d o w o l n i e w y s o k i m w y k Ba d n i k u
z b i e |n o [c i , n p . m e t o d a S c h r ö d e r a . J e d n a k m e t o d y d l a p > 3 s p r a k t y c z n i e i n t e r e s u j c e t y l k o w t e d y , g d y w y |s z e
p o c h o d n e f u n k c j i f Ba t w o o b l i c z y , g d y | m o |n a d o w i e [, |e k a |d a m e t o d a i t e r a c y j n a j e d n o p u n k t o w a o w y k Ba d n i k u p
w y m a g a o b l i c z e n i a p ¡ 1 p o c h o d n y c h f u n k c j i f w k a |d y m k r o k u i t e r a c y j n y m .
P R Z Y K AA D . O z n a c z m y " n : = x n ¡ ® d l a k a |d e g o n ¸ 0 . P r z y p ú s c m y , |e m a m y d w i e m e t o d y i t e r a c y j n e w
p r z e s t r z e n i R 1 o n a s t p u j c y c h w Ba s n o [c i a c h :
j " n + 1 j j ¹ n + 1 j
"
l i m = 0 : 7 5 o r a z l i m = 0 : 7 5 ;
n ! 1 n ! 1
j " n j
j ¹ n j 2
"
c z y l i z b i e |n e l i n i o w o i k w a d r a t o w o , o b i e z t a k i m i s a m y m i s t a By m i z b i e |n o [c i . D o d a t k o w o p r z y p u [m y , d l a u p -
r o s z c z e n i a , |e
j " n + 1 j j ¹ n + 1 j
"
¼ 0 : 7 5 o r a z ¼ 0 : 7 5 :
j " n j
j ¹ n j 2
"
D l a m e t o d y z b i e |n e j l i n i o w o o z n a c z a t o , |e
j " n j ¼ 0 : 7 5 j " n ¡ 1 j ¼ 0 : 7 5 2 j " n ¡ 2 j ¼ : : : ¼ 0 : 7 5 n j " 0 j ;
z a [ d l a z b i e |n e j k w a d r a t o w o
h i 2
n + 1
n + 1
j ¹ n j ¼ 0 : 7 5 j ¹ n ¡ 1 j 2 ¼ 0 : 7 5 ¢ 0 : 7 5 j " n ¡ 2 j 2 = 0 : 7 5 3 j " n ¡ 2 j 4 ¼ : : : ¼ 0 : 7 5 2 ¡ 1 j " 0 j 2 :
" "
A b y p o r ó w n a s z y b k o [ z b i e |n o [c i o k r e [l i m y l i c z b i t e r a c j i n , n i e z b d n d o o t r z y m a n i a r o z w i z a n i a o b a r c z o n e g o
b Bd e m n i e p r z e k r a c z a j c y m 1 0 ¡ 8 p r z y z a Bo |e n i u , |e j " 0 j = j ¹ 0 j = 1 . D l a m e t o d y l i n i o w e j
"
¡ 8
j " n j = 0 : 7 5 n ¢ 1 · 1 0 ¡ 8 , z a t e m n ¸ ¼ 6 4 :
l g 0 : 7 5
D l a m e t o d y z b i e |n e j k w a d r a t o w o
n + 1 n + 1 n + 1
j " n j = 0 : 7 5 2 ¡ 1 1 2 = 0 : 7 5 2 ¡ 1 · 1 0 ¡ 8
c o i m p l i k u j e
¡ 8
2 n + 1 ¸ + 1 ¼ 6 5 , w i c n ¸ 6 .
l g 0 : 7 5
W t y c h o k o l i c z n o [c i a c h m e t o d a k w a d r a t o w a w y m a g a w y k o n a n i a t y l k o 6 i t e r a c j i , p o d c z a s g d y l i n i o w a a | 6 4 .
W p r z y p a d k u m e t o d i t e r a c y j n y c h b e z p a m i c i w y k Ba d n i k z b i e |n o [c i m o |n a w y z n a c z y t e o r e t y c z n i e z a p o m o c
p o n i |s z e g o t w i e r d z e n i a :
T W I E R D Z E N I E 4 9 . N i e c h p - t a p o c h o d n a ' ( p ) ( x ) f u n k c j i i t e r a c y j n e j ' b e d z i e c i g Ba w p e w n y m o t o c z e n i u p u n k t u
® . M e t o d a ' j e s t r z d u p w t e d y i t y l k o w t e d y , g d y
' ( ® ) = ® ; ' ( j ) ( ® ) = 0 d l a j = 1 ; 2 ; : : : ; p ¡ 1 ; ' ( p ) ( ® ) = 0 : ( 8 2 )
6
' ( p ) ( ® )
O p r ó c z t e g o s t a Ba z b i e |n o [c i C ¼ .
p !
D O W Ó D p o m i j a m y .
U W A G A : ( i ) W a r u n e k ' ( ® ) = ® n a z y w a s i w a r u n k i e m z g o d n o [c i .
( i i ) W p r a k t y c e c z s t o o b l i c z e n i e w a r t o [c i p o c h o d n y c h f u n k c j i i t e r a c y j n e j , z w Ba s z c z a d l a m e t o d w i e l o p u n k t o w y c h
j e s t b a r d z o s k o m p l i k o w a n e . W i e l e u |y t e c z n y c h m e t o d w y z n a c z a n i a w y k Ba d n i k a z b i e |n o [c i w p r z y p a d k u f u n k c j i i t -
e r a c y j n y c h s p e c j a l n e j p o s t a c i m o |n a z n a l e z w l i t e r a t u r z e , n p . J . F . T R A U B - I t e r a t i v e m e t h o d s f o r t h e s o l u t i o n o f
e q u a t i o n s ( w y d . r o s . I t e r a c j o n n y j e m e t o d y r i e s z i e n i j a u r a w n i e n i j ) . P o n i |s z e l e m a t y s p r z y k Ba d a m i a l t e r n a t y w n y c h
s p o s o b ó w w y z n a c z a n i a w y k Ba d n i k a z b i e |n o [c i f u n k c j i i t e r a c y j n y c h s p e c j a l n e j p o s t a c i .
2
O z n a c z m y p r z e z I p k l a s f u n k c j i i t e r a c y j n y c h , k t ó r y c h w y k Ba d n i k z b i e |n o [c i j e s t r ó w n y p .
L E M A T 5 0 . N i e c h ' 2 I p o r a z
f ( ' ( x ) )
à ( x ) = ' ( x ) ¡ :
f 0 ( x )
W ó w c z a s à ( x ) 2 I p + 1 .
L E M A T 5 1 . N i e c h ' 1 2 I p , ' 2 2 I r o r a z ' 3 ( x ) = ' 2 ( ' 1 ( x ) ) . W ó w c z a s ' 3 2 I p r .
L E M A T 5 2 . W y k Ba d n i k z b i e |n o [c i m e t o d y j e d n o p u n k t o w e j z p a m i c i x k + 1 = ' ( x k ; x k ¡ 1 ; : : : ; x k ¡ l ) j e s t r ó w n y
j e d y n e m u d o d a t n i e m u p i e r w i a s t k o w i p r ó w n a n i a
^
l
X
p n + 1 ¡ s p j = 0 ; ( 8 3 )
j = 0
g d z i e l j e s t l i c z b p u n k t ó w p a m i c i , a s - i l o [c i n o w e j i n f o r m a c j i w k a |d e j i t e r a c j i . P o n a d t o s < ^ < s + 1 .
p
O p r ó c z m o |l i w o [c i p o r ó w n y w a n i a m e t o d z a p o m o c a r z d ó w z b i e |n o [c i , m o |e m y t a k |e p o r ó w n y w a i c h e f e k t y -
w n o [, k t ó r a o k r e [l a z a k r e s o b l i c z e D k o n i e c z n y c h d o o t r z y m a n i a p i e r w i a s t k a . M i a r j a k o [c i m e t o d y j e s t t z w . w s k a zn i k
e f e k t y w n o [c i d e ðn i o w a n y z a p o m o c n a s t p u j c e g o w z o r u :
p p
d
E = ( l u b r z a d z i e j E = p ) , ( 8 4 )
d
g d z i e p j e s t r z d e m m e t o d y , z a [ d - t z w . i n f o r m a c y j n y m z a p o t r z e b o w a n i e m , w y r a |a j c y m s i l i c z b e l e m e n t ó w n o w e j
i n f o r m a c j i , n i e z b e d n y c h w k a |d e j i t e r a c j i ( w f o r m i e w a r t o [c i f u n k c j i f i j e j p o c h o d n y c h w r ó |n y c h p u n k t a c h ) .
U W A G A : ( i ) D l a m e t o d j e d n o p u n k t o w y c h E · 1 , a l e i s t n i e j m e t o d y j e d n o p u n k t o w e w s z y s t k i c h r z d ó w o p t y -
m a l n e , t z n . t a k i e , d l a k t ó r y c h E = 1 :
1
( i i ) D l a m e t o d z p a m /e c i 1 < E < 1 + ( w i k s z a e f e k t y w n o [ t y c h m e t o d j e s t z w i z a n a z p o w t ó r n y m w y k o r z y s -
d
t a n i e m i n f o r m a c j i w l p u n k t a c h ) .
( i i i ) D l a m e t o d w i e l o p u n k t o w y c h E ¸ 1 , c o j e s t w y n i k i e m w y k o r z y s t a n i a d o d a t k o w e j i n f o r m a c j i o f u n k c j i .
6 . 2 . P r z e g l d n a j b a r d z i e j z n a n y c h m e t o d d l a r ó w n a Dw p r z e s t r z e n i R 1
W t e j c z [c i o m ó w i m y n a j p r o s t s z e i n a j p o p u l a r n i e j s z e m e t o d y r o z w i z y w a n i a d o w o l n y c h r ó w n a D w z b i o r z e l i c z b
r z e c z y w i s t y c h . P r a k t y c z n i e w i e k s z o [z n i c h ( z w y j t k i e m b i s e k c j i ) d a j e s i o p i s a w p o s t a c i n a s t p u j c e g o a l g o r y t m u :
I N P U T : x 0 ; : : : ; x l - p r z y b l i |e n i a p o c z t k o w e , " - t o l e r a n c j a d o k Ba d n o [c i , N - m a k s y m a l n a l i c z b a i t e r a c j i .
O U T P U T : x - p r z y b l i |o n e r o z w i z a n i e l u b i n f o r m a c j a o p o r a |c e .
S t e p 1 : i = 1 ;
S t e p 2 : W H I L E i · N D O S t e p s 3 - 6 .
S t e p 3 : x = Á ( x 0 ; : : : ; x l ) ;
S t e p 4 : I F ( k r y t e r i u m k o ¶ O U T P U T ( x ) ; S T O P .
n c a )
S t e p 5 : i = i + 1 .
S t e p 6 : x 0 = x 1 ; : : : ; x l = x ;
S t e p 7 : O U T P U T ( M e t o d a n i e z n a l a z Ba r o z w i z a n i a w N k r o k a c h ) ; S T O P .
U w a g a : D o d a n i e w a r u n k u n a m a k s y m a l n l i c z b k r o k ó w i t e r a c y j n y c h j e s t d o b r y m z w y c z a j e m . E l i m i n u j e m o |l -
w o [, |e m a s z y n a z a p t l i s i w o b l i c z e n i a c h w p r z y p a d k u , g d y w y m a g a n a j e s t z b y t d u |a d o k Ba d n o [ " .
6 . 2 . 1 . M e t o d y b i s e k c j i ( p o Bo w i e n i a ) i r e g u l a f a l s i
A l g o r y t m b i s e k c j i o p a r t y j e s t n a p o n i |s z y m t w i e r d z e n i u o w a r t o [c i p o [r e d n i e j :
T W I E R D Z E N I E 5 3 . J e [l i f 2 C [ a ; b ] i K j e s t d o w o l n l i c z b p o m i d z y f ( a ) i f ( b ) , t o i s t n i e j e l i c z b a c 2 ( a ; b )
t a k a , |e f ( c ) = K .
D O W Ó D p o m i j a m y .
P R Z Y K AA D 1 : R o z w a |m y r ó w n a n i e f ( x ) = x 5 ¡ 2 x 3 + 3 x 2 ¡ 1 = 0 . O c z y w i [c i e f u n k c j a f ( x ) j e s t c i g Ba n a
p r z e d z i a l e [ 0 ; 1 ] o r a z f ( 0 ) = ¡ 1 , f ( 1 ) = 1 . P o n i e w a | f ( 0 ) < 0 < f ( 1 ) , z a t e m t w . 5 3 i m p l i k u j e , |e i s t n i e j e l i c z b a
® 2 ( 0 ; 1 ) , b d c a r o z w i z a n i e m r o z w a |a n e g o r ó w n a n i a .
P r z y p u [m y t e r a z , |e f u n k c j a f , o k r e [l o n a n a p r z e d z i a l e [ a ; b ] , j e s t c i g Ba o r a z j e j w a r t ó s c i f ( a ) i f ( b ) m a j r ó |n e
z n a k i . W ó w c z a s , n a p o d s t a w i e t w . 5 3 , i s t n i e j e ® 2 ( a ; b ) t a k i e , |e f ( ® ) = 0 . C h o c i a | p r o c e d u r a b d z i e p r a c o w a w
p r z y p a d k u , g d y f ( a ) i f ( b ) m a j p r z e c i w a n e z n a k i i i s t n i e j e w i c e j n i | j e d e n p i e r w i a s t e k w p r z e d z i a l e [ a ; b ] , t o d l a
u p r o s z c z e n i a z a Bó |m y , |e w t y m p r z e d z i a l e p i e r w i a s t e k j e s t t y l k o j e d e n . P r o c e d u r p o w t a r z a s i d l a p r z e p o Bo w i o n e g o
p o d p r z e d z i a Bu [ a ; b ] i , w k a |d y m k r o k u , l o k a l i z u j e s i p o Bó w k z a w i e r a j c x . A b y r o z p o c z , p r z y j m u j e m y a 1 = a
1
i b 1 = b , o r a z x 1 = ( a 1 + b 1 ) c z y l i x 1 j e s t [r o d k i e m p r z e d z i a Bu [ a ; b ] . J e [l i f ( x 1 ) = 0 , t o x = x 1 , w p r z e c i w n y m
2
3
r a z i e , f ( x 1 ) j e s t t e g o s a m e g o z n a k u c o f ( a 1 ) l u b f ( b 1 ) . J é s l i f ( x 1 ) i f ( a 1 ) s t e g o s a m e g o z n a k u , t o x 2 ( x 1 ; b 1 ) , i
p r z y j m u j e m y a 2 = x 1 o r a z b 2 = b 1 . J e [l i f ( x 1 ) i f ( b 1 ) s t e g o s a m e g o z n a k u , t o x 2 ( a 1 ; x 1 ) , i p r z y j m u j e m y a 2 = a 1
o r a z b 2 = x 1 . N a s t p n i e p o w t a r z a m y p r o c e s d l a p r z e d z i a Bu [ a 2 ; b 2 ] .
U W A G A : ( i ) N a w e j [c i u p o t r z e b n e s w a r t ó s c i a i b - k r a Dc e p r z e d z i a Bu , g d z i e f ( a ) i f ( b ) m a j p r z e c i w n e z n a k i .
S t e p 3 w t y m p r z y p a d k u b d z i e p o s t a c i : x = a + ( b ¡ a ) = 2 , n a t o m i a s t S t e p 6 : I F f ( a ) f ( x ) > 0 T H E N a = x E L S E
b = x l u b I F f ( b ) f ( x ) > 0 T H E N b = x E L S E a = x .
( i i ) W k a |d y m k r o k u d Bu g o [ p r z e d z i a Bu z a w i e r a j c e g o p i e r w i a s t e k j e s t r e d u k o w a n a z e w s p ó Bc z y n n i k i e m 2 . Z a t e m
n a l e |y w y b i e r a p r z e d z i a B p o c z t k o w y [ a ; b ] j a k n a j m n i e j s z y , c o z r e d u k u j e l i c z b i t e r a c j i .
M e t o d a b i s e k c j i j e s t b a r d z o w o l n o z b i e |n a , w t y m s e n s i e |e m o |e i s t n i e p o t r z e b a w y k o n a n i a b a r d z o d u |e j l i c z b y
i t e r a c j i , z a n i m b Bd b e z w z g l d n y j ® ¡ x N j b d z i e d o s t a t e c z n i e m a By , a p o n a d t o , d o b r e p o [r e d n i e p r z y b l i |e n i e m o |e
b y n i e c h c c y z m a r n o w a n e . Z d r u g i e j s t r o n y , m e t o d a j e s t z a w s z e z b i e |n a d o r o z w i z a n i a i z t e g o p o w o d u j e s t c z s t o
u |y w a n a j a k o p r o c e d u r a s t a r t o w a d l a b a r d z i e j e f e k t y w n y c h m e t o d .
T W I E R D Z E N I E 5 4 . N i e c h f 2 C [ a ; b ] i p r z y p u [m y , |e f ( a ) f ( b ) < 0 . P r o c e d u r a b i s e k c j i ( o p i s a n a p r z e z a l g o r y t m
1 ) g e n e r u j e c i g f x n g p r z y b l i |a j c y ® z d o k Ba d n o [c i
b ¡ a
j x n ¡ ® j · ; n ¸ 1 : ( 8 5 )
2 n
D O W Ó D : D l a k a |d e g o n ¸ 1 m a m y
1
b n ¡ a n = ( b ¡ a ) o r a z x 2 ( a n ; b n ) :
2 n ¡ 1
1
P o n i e w a | x n = ( a n + b n ) d l a w s z y s t k i c h n ¸ 1 , t o w y n i k a s t d , |e
2
1
j x n ¡ ® j · ( b n ¡ a n ) = 2 ¡ n ( b ¡ a ) :
2
¥
S t o s u j c s i d o n o t a c j i O ( ¢ ) , n i e r ó w n o [ ( 8 5 ) i m p l i k u j e , |e f x n g 1 j e s t z b i e |n y d o ® i j e s t o g r a n i c z o n y p r z e z c i g
n = 1
z b i e |n y d o 0 z r z d e m z b i e |n o [c i O ( 2 ¡ n ) . P o w z s z e t w i e r d z e n i e d a j e t y l k o o g r a n i c z e n i e b Bd u p r z y b l i |e n i a .
P R Z Y K AA D 2 : R o z w a |m y r ó w n a n i e x 3 + 4 x 2 ¡ 1 0 = 0 p o s i a d a j c e p i e r w i a s t e k w p r z e d z i a l e [ 1 ; 2 ] ( f ( 1 ) =
¡ 5 i f ( 2 ) = 1 4 ) . A l g o r y t m 1 d a j e w 1 0 k r o k a c h p r z y b l i |e n i e x 9 = 1 : 3 6 5 2 3 4 3 7 5 p i e r w i a s t k a ® = 1 : 3 6 5 2 3 0 0 1 3 .
N i e r ó w n o [ ( 8 5 ) z a p e w n i a t y l k o , |e
2 ¡ 1
j ® ¡ x 9 j · = 2 ¡ 9 · 2 ¢ 1 0 ¡ 3 ;
2 9
c h o b Ba d b e z w z g l d n y w y n o s i w ó w c z a s j ® ¡ x 9 j = j 1 : 3 6 5 2 3 0 0 1 3 ¡ 1 : 3 6 5 2 3 4 3 7 5 j ¼ 4 : 4 £ 1 0 ¡ 6 .
Z d r u g i e j s t r o n y n i e r ó w n o [ ( 8 5 ) u m o |l i w i a o k r e [l e n i e l i c z b y N i t e r a c j i n i e z b d n y c h d o u z y s k a n i a w y m a g a n e j
d o k Ba d n o [c i . P o z a t y m , j a k Ba t w o s p r a w d z i a l g o r y t m b i s e k c j i z n a j d u j e j e d n c y f r z n a c z c p r z y b l i |e n i a w 3 l u b 4
1
k r o k a c h ( p o n i e w a | 2 ¡ 3 < < 2 ¡ 4 )
1 0
P R Z Y K AA D 3 : J a k w i e l e i t e r a c j i t r z e b a w y k o n a , a b y r o z w i a z a r ó w n a n i e z p r z y k Ba d u 2 z d o k Ba d n o [c i " = 1 0 ¡ 5
n a p r z e d z i a l e [ 1 ; 2 ] . S z u k a n a l i c z b a N b d z i e s p e Bn i a
j x N ¡ ® j · 2 ¡ N ( b ¡ a ) = 2 ¡ N < 1 0 ¡ 5 :
U |y j e m y l o g a r y t m u d z i e s i t n e g o . P o n i e w a | 2 ¡ N < 1 0 ¡ 5 i m p l i k u j e , |e l o g 1 0 2 ¡ N < l o g 1 0 1 0 ¡ 5 = ¡ 5 , c z y l i
¡ N l o g 1 0 2 < ¡ 5 , s k d
5
N > ¼ 1 6 : 6 :
l o g 1 0 2
N a l e |y z a t e m w y k o n a 1 7 k r o k ó w i t e r a c y j n y c h , a b y z a p e w n i d o k Ba d n o [ p r z y b l i |e n i a 1 0 ¡ 5 . P r z y " = 1 0 ¡ 3 w y m a g a
s i N 1 0 i t e r a c j i , a w a r t o [ x 9 d a j e j u | d o k Ba d n o [ r z d u 1 0 ¡ 6 . W a |n e j e s t z a t e m , a b y z a u w a |y , |e t a k a t e c h n i k a
d a j e t y <k o o g r a n i c z e n i e d l a l i c z b y i t e r a c j i , a w w i e l u p r z y p a d k a c h j e s t o n o d u |o w i k s z e n i | f a k t y c z n i e w y m a g a n a
l i c z b a .
W o l n a z b i e |n o [c m e t o d y b i s e k c j i j e s t s p o w o d o w a n a p r z e d e w s z y s t k i m u |y c i e m t y l k o z n a k u f u n k c j i f , b e z w y k o -
r z y s t a n i a w i e d z y o s a m e j f u n k c j i . N o w y p u n k t j e s t w y b i e r a n y b e z w z g l d u n a t o , w j a k i e j o d e l g Bo [c i o d p i e r w i a s t k a
s i e z n a j d u j e . P o d o b n y j a k a l g o r y t m p o s i a d a m e t o d a r e g u l a f a l s i , a l e w y k o r z y s t u j c i n f o r m a c j e o f u n k c j i f , c o w w i e l u
p r z y p a d k a c h p r z y s p i e s z a z b i e |n o [, c h o n i e z a w s z e . N o w y p u n k t j e s t o t r z y m y w a n y j a k o p u n k t p r z e c i c i a p r o s t e j
p r z e c h o d z c e j p r z e z p u n k t y o w s p ó Br z d n y c h ( a ; f ( a ) ) i ( b ; f ( b ) ) z o s i O X . Z a t e m n a s t e p n e p r z y b l i |e n i e j e s t d a n e
4
w z o r e m
b ¡ a
x = a ¡ f ( a ) :
f ( b ) ¡ f ( a )
Z b i e |n o [ o b u r o z w a |a n y c h m e t o d j e s t l i n i o w a , c h o m e t o d a r e g u l a f a l s i d l a w i k s z o [c i r ó w n a D p o t r z e b u j e m n i e j
k r o k ó w i t e r a c y j n y c h d o z n a l e z i e n i a p i e r w i a s t k a . W y n i k a t o z w i e l k o [c i s t a Be j z b i e z n o [c i , k t ó r a d l a b i s e k c j i w y n o s i
1
z a w s z e C = ( n a p o d s t a w i e d o w o d u t w . 5 4 ) , z a [ d l a r e g u l a f a l s i j e s t z w y k l e m n i e j s z a ( z a l e |n i e o d f u n k c j i f , n p . d l a
2
f ( x ) = x ¡ e ¡ x m a m y C ¼ 0 : 1 8 ) .
6 . 2 . 2 . M e t o d y N e w t o n a , s i e c z n y c h i S t e f f e n s e n a
M e t o d a N e w t o n a ( a w Ba [c i w i e N e w t o n a - R a p h s o n a ) j e s t j e d n z n a j b a r d z i e j s k u t e c z n y c h i n a j l e p i e j z b a d a n y c h m e t o d
n u m e r y c z n y c h r o z w i z y w a n i a r ó w n a D ( 7 8 ) . N a j Ba t w i e j i n t e r p r e t o w a m e t o d N e w t o n a , o p i e r a j c s i n a r o z w i n i c i u w
s z e r e g T a y l o r a .
P r z y p u [c m y , |e f u n k c j a f j e s t k l a s y C 2 [ a ; b ] . N i e c h x 2 [ a ; b ] b d z i e p r z y b l i |e n i e m r o z w i z a n i a ® t a k i m , |e
~
f 0 ( ~ = 0 i j x ¡ ® j j e s t d o s t a t e c z n i e m a Ba . R o z w a |m y n a s t p u j c e r o z w i n i c i e f u n k c j i f w s z e r e g T a y l o r a w o t o c z e n i u
x ) 6 ~
p u n k t u x
~
( x ¡ x ) 2
~
f ( x ) = f ( ~ + ( x ¡ x ) f 0 ( ~ + f 0 0 ( » x ) ;
x ) ~ x )
2
g d z i e » l e |y m i d z y x a x . P o n i e w a | f ( ® ) = 0 , t o p o w y |s z e r ó w n a n i e d l a x = ® d a j e
~
( ® ¡ x ) 2
~
0 = f ( ~ + ( ® ¡ x ) f 0 ( ~ + f 0 0 ( » ® ) : ( 8 6 )
x ) ~ x )
2
M e t o d N e w t o n a k o n s t r u u j e s i , z a k Ba d a j c , |e s k Ba d n i k z a w i e r a j c y ( ® ¡ x ) 2 m o |n a p o m i n , z a t e m
~
0 ¼ f ( ~ + ( ® ¡ x ) f 0 ( ~ ; ( 8 7 )
x ) ~ x )
c o d a j e
f ( ~
x )
® ¼ x ¡ ;
~
f 0 ( ~
x )
k t ó r e p o w i n n o b y l e p s z y m p r z y b l i |e n i e m r o z w i z a n i a ® n i | x . W k o n s e k w e n c j i m e t o d a N e w t o n a - R a p h s o n a g e n e r u j e
~
c i g z d e ðn i o w a n y n a s t p u j c o :
f ( x n )
x n + 1 = x n ¡ ; n ¸ 0 : ( 8 8 )
f 0 ( x n )
U W A G A : ( i ) Z a u w a |m y , |e m e t o d a N e w t o n a j e s t m e t o d i t e r a c y j n t y p u x n + 1 = ' ( x n ) c z y l i j e d n i o p u n k t o w b e z
p a m i c i .
( i i ) Z r ó w n a n i a ( 8 8 ) o c z y w i s t e j e s t , |e m e t o d a n i e d z i a Ba , g d y f 0 ( x n ) = 0 d l a p e w n e g o n .
( i i i ) Z a Bo |e n i e , k t ó r e p o z w o l i Bo p r z e j [ o d r ó w n a n i a ( 8 6 ) d o ( 8 7 ) d e c y d u j e o t y m , |e j e [l i x 0 n i e d o s t a t e c z n i e b l i s k o
r o z w i z a n i a , t o m e t o d a N e w t o n a m o |e n i e b y z b i e |n a ( c h o s p r z y p a d k i , g d y m a m y d o c z y n i e n i a z e z b i e |n o [c i
g l o b a l n m e t o d y N e w t o n a ) .
P R Z Y K AA D 4 : A b y z n a l e z r o z w i z a n i e r ó w n a n i a z p r z y k Ba d u 2 n a p r z e d z i a l e [ 1 ; 2 ] z a p o m o c m e t o d y N e w t o n a ,
g e n e r u j e s i c i g
x 3 + 4 x 2 ¡ 1 0
n n
x n + 1 = x n ¡ :
3 x 2 + 8 x n
n
W y b i e r a j c j a k o p r z y b l i |e n i e p o c z t k o w e x 0 = 1 : 5 , o t r z y m a m y 8 c y f r d o k Ba d n y c h j u | d l a x 3 = 1 : 3 6 5 2 3 0 0 1
P o n i |s z e t w i e r d z e n i e o z b i e |n o [c i m e t o d y N e w t o n a p o d k r e [l a r ó w n i e | w a g w y b o r u p r z y b l i |e n i a p o c z t k o w e g o :
T W I E R D Z E N I E 5 5 . N i e c h f 2 C 2 [ a ; b ] . J é s l i ® 2 [ a ; b ] j e s t t a k i e , |e f ( ® ) = 0 o r a z f 0 ( ® ) = 0 , t o i s t n i e j e ± > 0
6
t a k a , |e m e t o d a N e w t o n a z d e ðn i o w a n a w z o r e m ( 8 8 ) g e n e r u j e c i g f x n g 1 z b i e |n y d o ® d l a d o w o l n e g o p r z y b l i |e n i a
n = 1
p o c z t k o w e g o x 0 2 I ( ® ; ± ) .
D O W Ó D o p i e r a s i n a a n a l i z i e m e t o d y N e w t o n a j a k o s c h e m a t u i t e r a c y j n e g o t y p u x n + 1 = ' ( x n ) d l a n ¸ 1 , g d z i e
f ( x )
' ( x ) = x ¡
f 0 ( x )
i o d w o Bu j e s i d o t w . 5 7 .
U W A G A : M e t o d a N e w t o n a j e s t b a r d z o s k u t e c z n t e c h n i k , a l e m a b a r d z o p o w a |n e o g r a n i c z e n i a : j e s t t y l k o l o k a l n i e
z b i e |n a , w p e w n y c h p r z y p a d k a c h j e s t b a r d z o k o s z t o w n a ( g d y o b l i c z e n i e w a r t o [c i p o c h o d n e j w y m a g a w i e l u o p e r a c j i
a r y t m e t y c z n y c h , n p . d l a f ( x ) = x 2 3 x c o s 2 x ) .
5
A b y o m i n p r o b l e m o b l i c z a n i a p o c h o d n e j m o |n a w y k o r z y s t a p e w n m o d y ðk a c j m e t o d y N e w t o n a . W y k o r z y s -
t a m y d o t e g o c e l u d w u p u n k t o w f o r m u B i n t e r p o l a c y j n p r z y b l i |a n i a p i e r w s z e j p o c h o d n e j ( 3 6 ) , a m i a n o w i c i e
0 f ( x + h ) ¡ f ( x )
f ( x ) = ;
h
K Ba d c x + h = x n ¡ 1 o r a z x = x n , o t r z y m a m y
f ( x n ¡ 1 ) ¡ f ( x n ) f ( x n ) ¡ f ( x n ¡ 1 )
f 0 ( x n ) = = :
x n ¡ 1 ¡ x n x n ¡ x n ¡ 1
W t e n s p o s ó b f o r m u Ba N e w t o n a d a j e m e t o d
f ( x n ) ( x n ¡ x n ¡ 1 )
x n + 1 = x n ¡ ; n ¸ 1 ( 8 9 )
f ( x n ) ¡ f ( x n ¡ 1 )
n a z y w a n m e t o d s i e c z n y c h .
U W A G A : ( i ) O c z y w i [c i e , m e t o d a s i e c z n y c h j e s t w o l n i e j z b i e |n a n i | m e t o d a N e w t o n a , g d y |u |y w a t y l k o p r z y b l i |e -
n i a p i e r w s z e j p o c h o d n e j .
( i i ) W y b ó r p o m i d z y m e t o d s i e c z n y c h i m e t o d N e w t o n a z a l e |y o d k o s z t u o b l i c z a n i a p i e r w s z e j p o c h o d n e j . P r z y z a -
Bo |e n i u , |e k o s z t o b l i c z a n i a p o c h o d n e j f 0 ( x ) p r z e w y |s z a µ r a z y k o s z t o b l i c z e n i a f ( x ) , s t o s u j e s i n a s t p u j c r e g u B:
j e [l i µ > 0 : 4 4 , t o n a l e |y u |y w a m e t o d y s i e c z n y c h , w p r z e c i w n y m r a z i e - m e t o d y N e w t o n a .
( i i i ) P o d o b n m o d y ðk a c j j a k m e t o d a s i e c z n y c h s t a n o w i m e t o d a S t e f f e n s e n a , k t ó r a r ó w n i e | n i e k o r z y s t a z p o c h o d n y c h ,
a l e w y m a g a z a t o o b l i c z e n i a d w ó c h w a r t o [c i f u n k c j i f ( x ) . J e s t o n a o k r e [l o n a w z o r e m :
f ( x n )
x n + 1 = x n ¡ n ¸ 0 : ( 9 0 )
f ( x n + f ( x n ) ) ¡ f ( x n )
f ( x n )
J e s t t o p r z y k Ba d m e t o d y w i e l o p u n k t o w e j , a d o k Ba d n i e d w u p u n k t o w e j .
Z b a d a j m y t e r a z w y k Ba d n i k i z b i e |n o [c i r o z w a |a n y c h m e t o d . D l a m e t o d y N e w t o n a w y k o r z y s t a m y r ó w n a n i e ( 8 6 ) .
P o d z i e l m y j e s t r o n a m i p r z e z f 0 ( x n )
f ( x n ) ( ® ¡ x n ) 2
¡ ¡ ® + x n = x n + 1 ¡ ® = f 0 0 ( » ) ;
f 0 ( x n ) 2 f 0 ( x n )
g d z i e » l e |y m i d z y ® a x n . S t d
j x n + 1 ¡ ® j j f 0 0 ( » ) j
= ;
j x n ¡ ® j 2 2 j f 0 ( x n ) j
a d l a x n ! ®
j x n + 1 ¡ ® j j f 0 0 ( ® ) j
! ;
j x n ¡ ® j 2 2 j f 0 ( ® ) j
w i c m e t o d a N e w t o n a w o g ó l n y m p r z y p a d k u j e s t z b i e |n a k w a d r a t o w o , o i l e f 0 0 ( ® ) = 0 . O c z y w i [c i e m o |n a t e n f a k t
6
s p r a w d z i , s t o s u j c t w . 4 9 . D o d a t k o w o u z y s k a m y w ó w c z a s w n i o s e k , |e m e t o d a N e w t o n a j e s t z b i e |n a c o n a j m n i e j
s z e [c i e n n i e , g d y f 0 0 ( ® ) = 0 .
D o z b a d a n i a r z d u z b i e |n o [c i m e t o d y s i e c z n y c h u |y j e m y l e m . 5 2 . N a l e |y z a t e m z n a l e z d o d a t n i p i e r w i a s t e k r ó w -
n a n i a
p 2 ¡ ( p + 1 ) = 0 c z y l i p 2 ¡ p ¡ 1 = 0 :
p
J e d y n y d o d a t n i p i e r w i a s t e k t e g o r ó w n a n i a w y n o s i p = ( 1 + 5 ) = 2 ¼ 1 : 6 1 8 .
N a t o m i a s t m e t o d a S t e f f e n s e n a j e s t z b i e |n a k w a d r a t o w o ( o b l i c z e n i a p o m i j a m y ) .
6 . 2 . 3 . M e t o d a p u n k t u s t a Be g o
T e r a z r o z w a |y m y m e t o d y o k r e [l a n i a r o z w i z a n i a r ó w n a n i a , k t ó r e m o z n a w y r a z i w p o s t a c i ' ( x ) = x d l a p e w n e j
f u n k c j i ' . R o z w /a z a n i e t a k i e g o r ó w n a n i a j e s t n a z y w a n e p u n k t e m s t a By m f u n k c j i ' . J é s l i m o |n a z n a l e z p u n k t s t a By
d l a d a n e j f u n k c j i ' , t o r ó w n i e | m o |n a z n a l e z p i e r w i a s t e k p e w n e g o r ó w n a n i a , a m i a n o w i c i e r o z w i z a n i a r ó w n a n i a
f ( x ) = 0 o d p o w i a d a j p u n k t o m s t a By m r ó w n a n i a ' ( x ) = x , g d y ' ( x ) = x ¡ f ( x ) .
P o n i |s z e t w i e r d z e n i e d a j e w a r u n e k w y s t a r c z a j c y i s t n i e n i a i j e d n o z n a c z n o [c i p u n k t u s t a Be g o :
T W I E R D Z E N I E 5 6 . J e [l i ' 2 C [ a ; b ] i ' ( x ) 2 [ a ; b ] , t o ' p o s i a d a p u n k t s t a By w [ a ; b ] . D a l e j , p r z y p u [m y , |e
' 0 ( x ) i s t n i e j e n a ( a ; b ) i
j ' 0 ( x ) j · ½ < 1 d l a w s z y s t k i c h x 2 ( a ; b ) :
W ó w c z a s , ' p o s i d a d a j e d y n y p u n k t s t a By ® 2 ( a ; b ) .
6
P R Z Y K AA D 5 . N i e c h ' ( x ) = ( x 2 ¡ 1 ) = 3 n a [ ¡ 1 ; 1 ] . P o n i e w a | j e s t t o f u n k c j a k w a d r a t o w a , t o j e j w a r t o [ n a j m -
n i e j s z a p o j a w i a s i w x = 0 i w y n o s i ' ( 0 ) = ¡ 1 = 3 , z a [ w a r t o [n a j w i k s z a - w x = § 1 i w y n o s i ' ( § 1 ) = 0 . P o n a d t o
' j e s t c i g Ba c z y l i s p e Bn i a z a Bo |e n i a t w . 5 6 , w i c p o s i a d a d o k Ba d n i e j e d e n p u n k t s t a By w [ ¡ 1 ; 1 ] i j e s t o n r o z w i z a n i e m
p p
r ó w n a n i a 3 x = x 2 ¡ 1 , s k d ® = ( 3 ¡ 1 3 ) = 2 . Z a u w a |m y , |e ' p o s i a d a r ó w n i e | j e d e n p u n k t s t a By ® = ( 3 + 1 3 ) = 2
w p r z e d z i a l e [ 3 ; 4 ] . J e d n a k , ' ( 4 ) = 5 , w /e c t y m r a z e m z a Bo |e n i a t w i e r d z e n i a n i e s s p e Bn i o n e . P o k a z u j e t o , |e t w . 5 6
n i e d a j e w a r u n k u k o n i e c z n e g o .
A b y p r z y b l i |y p u n k t s t a By f u n k c j i ' , w y b i e r z m y p r z y b l i |e n i e p o c z a t k o w e x 0 i w y g e n e r u j m y c i g f x n g 1 k Ba d c
n = 0
x n = ' ( x n ¡ 1 ) d l a k a |d e g o n ¸ 1 . J é s l i c i g j e s t z b i e |n y d o ® i ' j e s t c i g Ba , t o
³ ´
® = l i m x n = l i m ' ( x n ¡ 1 ) = ' l i m x n ¡ 1 = ' ( ® ) ;
n ! 1 n ! 1 n ! 1
c z y l i o t r z y m a m y r o z w i z a n i e r ó w n a n i a x = ' ( x ) . W Ba [n i e t a t e c h n i k a j e s t n a z y w a n a m e t o d p u n k t u s t a Be g o . P r a w i e
k a |d e r ó w n a n i e m o |n a n a p i s a w p o s t a c i x = ' ( x ) n a w i e l e s p o s o b ó w . J e d n a k n i e z a w s z e m o |n a o t r z y m a m e t o d
z b i e |n , n i e m ó w i c j u | o z b i z n o [c i g l o b a l n e j . C i g f x k g m o |e b y r o z b i e |n y n a w e t , g d y x 0 j e s t b a r d z o b l i s k i e
p i e r w i a s t k a .
A b y z i l u s t r o w a t e c h n i k m e t o d y p u n k t u s t a Be g o r o z w a |m y n a s t p u j c y :
P R Z Y K AA D 6 . R ó w n a n i e x 3 + 4 x 2 ¡ 1 0 = 0 m a j e d e n p i e r w i a s t e k w [ 1 ; 2 ] . J e s t w i e l e s p o s o b ó w u z y s k a n i a
p o s t a c i x = ' ( x ) z a p o m o c p r o s t y c h p r z e k s z t a Bc e D a l g e b r a i c z n y c h , p r z y c z y m w a |n e j e s t d o p i l n o w a , a b y p u n k t s t a By
k a |d e g o z u z y s k a n y c h r ó w n a Db y B r o z w i z a n i e m o r y g i n a l n e g o r ó w n a n i a . N p .
x = ' 1 ( x ) = x ¡ x 3 ¡ 4 x 2 + 1 0 r o z b i e |n a
1
¡ 1 0 ¢ 2
x = ' 2 ( x ) = ¡ 4 x n i e d z i a Ba
x
1
¡ ¢ 2
1
x = ' 3 ( x ) = 1 0 ¡ x 3 3 0
2
1
³ ´ 2
1 0
x = ' 4 ( x ) = 1 5
4 + x
x 3 + 4 x 2 ¡ 1 0
x = ' 5 ( x ) = x ¡ 4
3 x 2 + 8 x
W d r u g i e j k o l u m n i e d a n a j e s t l i c z b a w y k o n a n y c h i t e r a c j i d l a p r z y b l i |e n i a p o c z t k o w e g o x 0 = 1 : 5 , k t ó r e d a j p r e c y z j
1 0 c y f r d o k Ba d n y c h , p o d c z a s g d y m e t o d a b i s e k c j i w y k o n a Ba 2 7 k r o k ó w , s t a r t u j c z p r z e d z i a Bu [ 1 ; 2 ] .
Z p o w z s z e g o p r z y k Ba d u w y n i k a k o n i e c z n o [ o k r é s l e n i a w a r u n k ó w , k t ó r e z a g w a r a n t u j z b i e |n o [ d o r o z w i z a -
n i a i p o z w o l w y b r á c ' w t a k i s p o s ó b , a b y z b i e |n o [ b y Ba j a k n a j s z y b s z a . P o n i |s z e t w i e r d z e n i e z a w i e r a w a r u n e k
d o s t a t e c z n y z b i e |n o [c i :
T W I E R D Z E N I E 5 7 . N i e c h ' 2 C [ a ; b ] i p r z y p u [m y , |e ' ( x ) 2 [ a ; b ] d l a w s z y s t k i c h x 2 [ a ; b ] . D a l e j , n i e c h
i s t n i e j e ' 0 n a ( a ; b ) o r a z
j ' 0 ( x ) j · ½ < 1 d l a w s z y s t k i c h x 2 ( a ; b ) : ( 9 1 )
J e [l i x 0 j e s t d o w o l n y m p u n k t e m z [ a ; b ] , t o c i g z d e ðn i o w a n y p r z e z
x n = ' ( x n ¡ 1 ) ; n ¸ 1 ;
b d z i e z b i e |n y d o j e d y n e g o p u n k t u s t a Be g o ® w [ a ; b ] .
D O W Ó D : N a p o d s t a w i e t w . 5 6 i s t n i e j e j e d y n y p u n k t s t a By w [ a ; b ] . P o n i e w a | ' o d w z o r o w u j e [ a ; b ] n a s i e b i e , t o
c i g f x n g 1 j e s t z d e ðn i o w a n y d l a w s z y s t k i c h n ¸ 1 i x n 2 [ a ; b ] . W y k o r z y s t u j c n i e r ó w n o [ ( 9 1 ) i t w . o w a r t ó s c i
n = 0
[r e d n i e j , o t r z y m a m y
j x n ¡ ® j = j ' ( x n ¡ 1 ) ¡ ' ( ® ) j · j ' 0 ( » ) j j x n ¡ 1 ¡ ® j · ½ j x n ¡ 1 ¡ ® j ;
g d z i e » 2 ( a ; b ) . Z a s t o s o w a n i e p o w y |s z e g o o s z a c o w a n i a i n d u k c y j n i e d a j e
j x n ¡ ® j · ½ j x n ¡ 1 ¡ ® j · ½ 2 j x n ¡ 2 ¡ ® j · : : : · ½ n j x 0 ¡ ® j :
P o n i e w a | ½ < 1 , t o
l i m j x n ¡ ® j · l i m ½ n j x 0 ¡ ® j = 0 ;
n ! 1 n ! 1
z a t e m f x n g 1 j e s t z b i e |n y d o ® .
n = 0
U W A G A : J e [l i 0 < ' 0 ( ® ) < 1 , t o z b i e |n o [ m e t o d y j e s t m o n o t o n i c z n a , z a [ j é s l i ¡ 1 < ' 0 ( ® ) < 0 , t o c i g f x k g
d |y n a p r z e m i e n n i e d o ® .
P R Z Y K AA D 7 . Z b a d a j m y t e r a z z b i e |n o [ m e t o d z p r z y k Ba d u 6 w [w i e t l e t w . 5 7 .
( a ) ' 0 ( x ) = 1 ¡ 3 x 2 ¡ 8 x i n i e i s t n i e j e p r z e d z i a B [ a ; b ] z a w i e r a j c y ® , d l a k t ó r e g o j ' 0 ( x ) j < 1 ( j ' 0 ( ® ) j ¼ 1 5 : 5 ) .
1 1 1
C h o c i a | t w . 5 7 n i e g w a r a n t u j e , |e w t a k i m p r z y p a d k u m e t o d a j e s t r o z b i e |n a , t o w k a |d y m r a z i e n i e m a p o w o d u , a b y
o c z e k i w a z b i e |n o [c i ;
7
( b ) ' 2 ( x ) n i e o d w z o r o w u j e [ 1 ; 2 ] n a [ 1 ; 2 ] i c i g n i e j e s t d o b r z e z d e ðn i o w a n y d l a x 0 = 1 : 5 ( x 3 = ( ¡ 8 : 6 5 ) 1 = 2 ) : P o n a d t o ,
n i e i s t n i e j e p r z e d z i a B z a w i e r a j c y ® , d l a k t ó r e g o j ' 0 ( x ) j < 1 , p o n i e w a | j ' 0 ( ® ) j ¼ 3 : 4 .
1 2
¡ ¢ ¡ 1 = 2
1
( c ) ' 0 ( x ) = 1 0 ¡ x 3 < 0 n a [ 1 ; 2 ] , w i c ' j e s t [c i [l e m a l e j c a n a [ 1 ; 2 ] . B l i |s z e z b a d a n i e c i g u f x n g p o k a z u j e ,
3
2
|e w y s t a r c z y r o z w a |y p r z e d z i a B [ 1 ; 1 : 5 ] z a m i a s t [ 1 ; 2 ] , n a k t ó r y m ' j e s t n a d a l [c i [l e m a l e j c a i d o d a t k o w o
1 < 1 : 2 8 ¼ ' 3 ( 1 : 5 ) · ' 3 ( x ) · ' 3 ( 1 ) = 1 : 5 d l a w s z y s t k i c h x 2 [ 1 ; 1 : 5 ] :
T w . 5 7 p o t w i e r d z a z b i e |n o [ w t y m p r z y p a d k u , g d y | j ' 0 ( x ) j · j ' 0 ( 1 : 5 ) j ¼ 0 : 6 6 .
3 3
( d ) D l a ' 4 ( x )
¯ ¯
¯ ¯
¡ 5 5
¯ ¯
j ' 0 ( x ) j = p · p < 0 : 1 5 d l a w s z y s t k i c h x 2 [ 1 ; 2 ] :
4
¯
1 0 ( 4 + x ) 3 = 2 ¯ 1 0 5 3 = 2
O s z a c o w a n i e j ' 0 ( x ) j j e s t m n i e j s z e n i | j ' 0 ( x ) j , c o w y j á s n i a p o w ó d s z y b s z e j z b i e |n o [c i p r z y u |y c i u ' 4 . A n a l o g i c z n i e
4 3
b y Bo b y w p r z y p a d k u ' 5 .
W N I O S E K 5 8 . J e [l i ' s p e Bn i a z a Bo |e n i a t w . 5 7 , t o o s z a c o w a n i e b Bd u d l a x n p r z y b l i |a j c e g o p u n k t s t a By ® j e s t d a n e
n a s t e p u j c a n i e r ó w n o [c i
j x n ¡ ® j · ½ n m a x f x 0 ¡ a ; b ¡ x 0 g d l a w s z y s t k i c h n ¸ 1 .
W N I O S E K 5 9 . J e [l i ' s p e Bn i a z a Bo |e n i a t w . 5 7 , t o
½ n
j x n ¡ ® j · j x 0 ¡ x 1 j d l a w s z y s t k i c h n ¸ 1 .
1 ¡ ½
O b a w n i o s k i w i | r z d z b i e |n o [c i z o g r a n i c z e n i e m p i e r w s z e j p o c h o d n e j f u n k c j i i t e r a c y j n e j . J e s t j a s n e , |e r z d
z b i e |n o [c i z a l e |y o d w s p ó Bc z y n n i k a ½ n = ( 1 ¡ ½ ) i |e i m m n i e j s z e ½ , t y m s z y b s z a z b i e |n o [. Z b i e |n o [ m o |e b y
b a r d z o w o l n a , j e [l i ½ j e s t b l i s k i e 1 .
W t w . 5 7 z a k Ba d a l i [m y i s t n i e n i e p i e r w i a s t k a ® . M o |n a j e r ó w n i e | t a k z m o d y ðk o w a , a b y s Bu |y Bo d o s p r a w d z a n i a ,
c z y r ó w n a n i e x = ' ( x ) p o s i a d a p i e r w i a s t e k .
T W I E R D Z E N I E 6 0 . N i e c h [ a ; b ] b d z i e p r z e d z i a Be m d o m k n i t y m , w k t ó r y m p o c h o d n a f u n k c j i i t e r a c y j n e j ' 0 i s t n i e j e
i s p e Bn i a n i e r ó w n o [ j ' 0 ( x ) j · ½ < 1 . N i e c h c i g f x n g b d z i e o k r e [l o n y w z o r e m x n + 1 = ' ( x n ) d l a x 0 2 [ a ; b ] . J e [l i
½
x 1 § j x 1 ¡ x 0 j 2 [ a ; b ] ;
1 ¡ ½
t o t e z a t w . 5 7 j e s t p r a w d z i w a .
D O W Ó D p o m i j a m y .
Z b a d a j m y j e s z c z e r z d z b i e |n o [c i m e t o d y p u n k t u s t a Be g o p o s t a c i x n + 1 = ' ( x n ) , n ¸ 1 . Z a Bó |m y , |e ' ( x ) 2 [ a ; b ]
o r a z j ' 0 ( x ) j · k < 1 d l a w s z y s t k i c h x 2 [ a ; b ] . W ó w c z a s ' m a j e d e n p u n k t s t a By ® w [ a ; b ] i j é s l i x 0 2 [ a ; b ] , t o
f x n g ! ® ( t w . 5 7 ) . O b l i c z m y
" n + 1 = x n + 1 ¡ ® = ' ( x n ) ¡ ' ( ® ) = ' 0 ( » n ) ( x n ¡ ® ) = ' 0 ( » n ) " n ;
g d z i e » n l e |y m i d z y x n a ® . P o n i e w a | f x n g ! ® , t o r ó w n i e | f » n g ! ® . Z a Bó |m y d o d a t k o w o , |e ' 0 j e s t c i g Ba n a
[ a ; b ] , w ó w c z a s
l i m ' 0 ( » n ) = ' 0 ( ® ) ;
n ! 1
s k d
" n + 1 j " n + 1 j
l i m = l i m ' 0 ( » n ) = ' 0 ( ® ) o r a z l i m = j ' 0 ( ® ) j : ( 9 2 )
n ! 1 n ! 1 n ! 1
" n j " n j
Z a t e m , m e t o d a p u n k t u s t a Be g o j e s t z b i e |n a l i n i o w o , o i l e ' 0 ( ® ) = 0 . Z b i e |n o [ w z s z e g o r z d u m o |e p o j a w i s /e
6
t y l k o , g d y ' 0 ( ® ) = 0 .
6 . 3 . K r y t e r i a z a k o Dc z e n i a
Z a Bó |m y , |e c h c e m y w y z n a c z y p i e r w i a s t e k ® z p e w n u s t a l o n d o k Ba d n o [c i " . W o b l i c z e n i a c h n u m e r y c z n y c h j e s t
b a r d z i e j k o r z y s t n i e w y k o n a k i l k a d o d a t k o w y c h i t e r a c j i n i | s z a c o w a b Bd z a p o m o c z Bo |o n e g o w z o r u , a b y w y z n a c z y
p o p r a w k .
P r z y u s t a l o n e j t o l e r a n c j i d o k Ba d n o [c i " l > 0 m o |n a s t o s o w a j e d n z p o n i |s z y c h t e c h n i k :
j x n + 1 ¡ x n j · " 1 ; ( 9 3 )
j x n + 1 ¡ x n j
· " 2 , o i l e x n + 1 = 0 ; ( 9 4 )
6
j x n + 1 j
8
j f ( x n + 1 ) j · " 3 : ( 9 5 )
U W A G A : ( i ) W k r y t e r i u m ( 9 5 ) n a l e |y u |y z d e c y d o w a n i e m n i e j s z e g o " 3 n i | w p r z y p a d k u k r y t e r i ó w ( 9 3 ) i ( 9 4 ) .
( i i ) C z s t o d l a p e w n o [c i Bc z y s i k r y t e r i a ( 9 3 ) i ( 9 5 ) a l b o ( 9 5 ) i ( 9 5 ) , b i o r c j e d n a k r ó |n e " , m i a n o w i c i e o d p o w i e d n i o
" 3 ¿ " 1 a l b o " 3 ¿ " 2
J e [l i c i g f x n g j e s t z b i e |n y d o ® s z y b c i e j n i | l i n i o w o , t o p o c z w s z y o d p e w n e g o n r ó |n i c e j x n ¡ x n ¡ 1 j m a l e j a |
d o j x n ¡ ® j . W ó w c z a s p r z e w a |a j b Be d y z a o k r g l e n i a i r ó |n i c e t e z m i e n i a j s i n i e r e g u l a r n i e . M o |n a z a t e m u |y w a
r ó w n i e | p o n i |s z e g o p o d w ó j n e g o k r y t e r i u m
j x n + 1 ¡ x n j ¸ j x n ¡ x n ¡ 1 j o r a z j x n ¡ x n ¡ 1 j < ± ; ( 9 6 )
g d z i e ± j e s t p e w n g r u b a t o l e r a n c j , u |y w a n p o t o , b y z a p o b i e c z b y t w c z e s n e m u p r z e r w a n i u i t e r a c j i .
6 . 4 . P i e r w i a s t k i w i e l o k r o t n e
D E F I N I C J A 6 1 . P i e r w i a s t e k ® r ó w n a n i a f ( x ) = 0 n a z y w a m y q - k r o t n y m , j e [l i f ( x ) m o |e b y z a p i s a n a j a k o
f ( x ) = ( x ¡ ® ) q g ( x ) d l a x = ® , g d z i e 0 < j g ( ® ) j < + 1 .
6
T W I E R D Z E N I E 6 2 . F u n k c j a f 2 C q [ a ; b ] p o s i a d a p i e r w i a s t e k q - k r o t n y w p u n k c i e ® 2 ( a ; b ) w t e d y i t y l k o w t e d y ,
g d y
0 = f ( ® ) = f 0 ( ® ) = : : : = f ( q ¡ 1 ) ( ® ) o r a z f ( q ) ( ® ) = 0 :
6
D O W Ó D p o m i j a m y .
J e [l i p i e r w i a s t e k j e s t w i e l o k r o t n y ( t j . q > 1 ) , t o r z d z b i e |n o [c i m e t o d N e w t o n a i s i e c z n y c h j e s t i n n y . M i a n o w i c i e
q ¡ 1
m e t o d a N e w t o n a d l a p i e r w i a s t k ó w w i e l o k r o t n y c h j e s t z b i e |n a t y l k o l i n i o w o i s t a Ba z b i e |n o [c i w y n o s i C = ( d l a
q
q = 2 z b i e |n o [ j e s t p o d o b n a j a k d l a m e t o d y b i s e k c j i ) .
Z n a n e s m o d y ðk a c j e m e t o d N e w t o n a , s i e c z n y c h i S t e f f e n s e n a d a j c e z n ó w z b i e |n o [ k w a d r a t o w . P i e r w s z a
w y m a g a z n a j o m o [c i z g ó r y k r o t n o [c i p i e r w i a s t k a i d a n a j e s t w z o r e m
x n + 1 = x n + q h n ; ( 9 7 )
g d z i e h n j e s t p o p r a w k w y n i k a j c z k o n s t r u k c j i m e t o d y ( 8 8 ) , ( 8 9 ) a l b o ( 9 0 ) .
D r u g a n a t o m i a s t u n i k a k o n i e c z n o [c i w y z n a c z a n i a k r o t n o [c i p i e r w i a s t k a , a l e z k o l e i w y m a g a o b l i c z a n i a l u b p r z y -
b l i |a n i a w i c e j n i | j e d n e j p o c h o d n e j f u n k c j i f . M i a n o w i c i e , j e [l i o z n a c z y m y u ( x ) = f ( x ) = f 0 ( x ) , t o d l a m e t o d y
N e w t o n a m o d y ðk a c j a b d z i e p o s t a c i
u ( x n )
x n + 1 = x n ¡ ; ( 9 8 )
u 0 ( x n )
U W A G A : O c z y w i [c i e p i e r w s z m o d y ðk a c j m o |n a z a s t o s o w a d o d o w o l n e j m e t o d y i t e r a c y j n e j r o z w i z y w a n i a
r ó w n a D n i e l i n i o w y c h , o i l e m o |n a j p r z e d s t a w i w p o s t a c i x n + 1 = x n + h n , g d z i e h n j e s t p o p r a w k w y n i k a j c z
k o n s t r u k c j i d a n e j m e t o d y .
6 . 5 . A n a l i z a b Bd u m e t o d i t e r a c y j n y c h
W y p r o w a d z i m y t e r a z o s z a c o w a n i e b Bd u p o s k o Dc z e n i e w i e l u i t e r a c j a c h , u w z g l d n i a j c b Bd o b l i c z a n e j w k a |d y m
k r o k u w a r t o [c i ' ( x ) .
N i e c h x 1 ; x 2 ; : : : b d z i e c i g i e m o b l i c z o n y c h p r z y b l i |e D i n i e c h w a r t o [ ' ( x n ) b d z i e o b l i c z o n a z b Bd e m ± n . W t e d y
x n + 1 = ' ( x n ) + ± n d l a n = 0 ; 1 ; : : :
O d e j m u j c o d p o w y |s z e g o r ó w n o [ ® = ' ( ® ) , o t r z y m a m y n a m o c y t w . o w a r t o [c i [r e d n i e j , |e
x n + 1 ¡ ® = ' 0 ( » n ) ( x n ¡ ® ) + ± n ;
g d z i e » n l e |y m i d z y ® a x n . W y n i k a s t d r ó w n o [
( 1 ¡ ' 0 ( » n ) ) ( x n + 1 ¡ ® ) = ' 0 ( » n ) ( x n ¡ x n + 1 ) + ± n :
Z a Bó |m y t e r a z , |e
j ' 0 ( » n ) j · ½ < 1 o r a z j ± n j < ± :
Z a c h o d z i w t e d y n i e r ó w n o [
½ 1
j x n + 1 ¡ ® j < j x n + 1 ¡ x n j + ± : ( 9 9 )
1 ¡ ½ 1 ¡ ½
J e s t t o [c i s Be o s z a c o w a n i e b Bd u p r z y b l i |e n i a x n + 1 p r z e z z n a n e w i e l k o [c i , z a l e |n e o d m e t o d y . P i e r w s z y s k Ba d n i k
s z a c u j e b Ba d o b c i c i a , d r u g i - b Bd o b l i c z e D.
U W A G A : ( i ) B Bd o b l i c z e D z a l e |y t y l k o o d b Bd u o s t a n i e j i t e r a c j i , c o o z n a c z a , |e b Bd y p o p e Bn i o n e w p o c z t k o w y c h
i t e r a c j a c h n i e w p By w a j n a k o Dc o w d o k Ba d n o [ ( c z y l i m e t o d y i t e r a c y j n e s s a m o k o r y g u j c e s i ) .
9
( i i ) D l a d o s t a t e c z n i e d u |y c h w a r t o [c i n d o m i n u j c y m s k Ba d n i k i e m w ( 9 9 ) j e s t b Bd o b l i c z e D. D a l s z e i t e r a c j e n i e p o l e p -
s z d o k Ba d n o [c i - b Bd b d z i e s i z a c h o w y w a B n i e r e g u l a r n i e .
Z t w . o w a r t o [c i [r e d n i e j m o |n a r ó w n i e | o t r z y m a o s z a c o w n a i e b Bd u n i e z a l e |n e o d m e t o d y . J e [l i x n j e s t p r z y b l i |e -
n i e m z e r a p r o s t e g o f u n k c j i f , t o m a m y
f ( x n ) = f 0 ( » ) ( x n ¡ ® ) ;
g d z i e » l e |y m i d z y ® a x n . W ó w c z a s
j f ( x n ) j
j x n ¡ ® j · ; ( 1 0 0 )
M 1
¹ ( x n )
g d z i e j f 0 ( x ) j ¸ M 1 d l a x l e |c y m m i d z y ® a x n . N i e c h f o z n a c z a o b l i c z o n w a r t o [ f u n k c j i i n i e c h b d z i e
¹ ( x n )
f = f ( x n ) + ± ( x n ) ;
g d z i e j ± ( x ) j · ± d l a k a |e d g o x . W i e l k o [ ± o g r a n i c z a d o k Ba d n o [, z j a k a m o |n a o b l i c z y ® . W n a j l e p s z y m r a z i e
m o |e m y z n a l e z x n t a k i e , |e f ( x n ) = 0 . W ó w c z a s d o k Ba d n a w a r t o [ f u n k c j i s p e Bn i a n i e r ó w n o [ j f ( x n ) j · ± .
P r z y j m u j c , |e f 0 ( x ) n i e z m i e n i a s i z b y t g w a Bt o w n i e w p o b l i |u x = ® , o t r z y m a m y z ( 1 0 0 ) , |e
± ±
j x n ¡ ® j · ¼ " n ; g d z i e " n = : ( 1 0 1 )
M 1 j f 0 ( ® ) j
W i e l k o [ " n n a z y w a m y o s i g a l n d o k Ba d n o [c i p i e r w i a s t k a ® .
U W A G A : ( i ) Aa t w o z a u w a |y , |e j e [l i j f 0 ( ® ) j j e s t m a Be , t o o s i g a l n a d o k Ba d n o [ p i e r w i a s t k a c o d o w a r t o [c i j e s t
d u |a ( o c z y w i [c i e w s e n s i e n e g a t y w n y m ) .
( i i ) G r a n i c z n a d o k Ba d n o [ " n z a z w y c z a j n i e j e s t z n a n a z g ó r y . W k o n s e k w e n c j i , j e s l i z a |d a m y o s i g n i c i a d o k Ba d n o [c i
" < " n , t o k r y t e r i u m z a k o Dc z e n i a m o |e n i g d y n i e b y s p e Bn i o n e .
P o d o b n e r o z w a |a n i a p r z e p r o w a d z o n e d l a p i e r w i a s t k a q - k r o t n e g o ® d a j g r a n i c z n d o k Ba d n o [
1
à ! q
± q !
¯ ¯
" n = ( 1 0 2 )
( q )
¯ f ( ® ) ¯ :
Z e w z g l d u n a w y k Ba d n i k 1 = q o b l i c z a n i e p i e r w i a s t k ó w w i e l o k r o t n y c h j e s t z a z w y c z a j zl e u w a r u n k o w a n e .
6 . 6 . P r z y s p i e s z a n i e z b i e |n o [c i m e t o d i t e r a c y j n y c h r o z w i z y w a n i a r ó w n a D n i e l i n -
i o w y c h
W c z [c i p o [w i c o n e j p i e r w i a s t k o m w i e l o k r o t n y m p o d a n e z o s t a By s p o s o b y p r z y s p i e s z a n i a z b i e |n o [c i n i e k t ó r y c h
m e t o d r o z w i o z y w a n i a r ó w n a D n i e l i n i o w y c h w p r z y p a d k u p o s z u k i w a n i a p i e r w i a s t k ó w w i e l o k r o t n y c h . T e r a z n a t o m i -
a s t p r z e d s t a w i o n a z o s t a n i e m e t o d a p r z y s p i e s z a n i a z b i e |n o [c i d o w o l n e g o c i g u i t e r a c y j n e g o z b i e |n e g o d o r o z w i z a n i a
r ó w n a n i a n i e l i n i o w e g o .
Z r ó w n o [c i ( 9 2 ) w y n i k a , |e
x n ¡ ®
¼ ' 0 ( ® ) :
x n ¡ 1 ¡ ®
J e [l i ' 0 ( ® ) = 0 , t o l i c z b y x n ¡ ® t w o r z w p r z y b l i |e n i u c i g g e o m e t r y c z n y . W o b e c t e g o c i g f x n g m o |n a p r z e k s z t a Bc i
6
w s z y b c i e j z b i e |n y c i g f x 0 g z a p o m o c m e t o d y z w a n e j e k s t r a p o l a c j A i t k e n a .
n
J e s t t o p r o c e d u r a p r z y s p i e s z a n i a s z e r e g ó w , k t ó r m o |n a s t o s o w a d o w y z n a c z a n i a g r a n i c c i g ó w z b i e |n y c h , g d y |
1
X
l i m x n = ® ( ) ® = x j + ( x k + j ¡ x k + j ¡ 1 ) :
n ! 1
k = 1
J e [l i r ó |n i c e x k + j ¡ x k + j ¡ 1 ; k = 1 ; 2 ; : : : t w o r z c i g g e o m e t r y c z n y , t o
1
X
( x j ¡ x j ¡ 1 ) p
® = x j + ( x j ¡ x j ¡ 1 ) p k = x j + :
1 ¡ p
k = 1
x j ¡ x j ¡ 1
P o n i e w a | p = , w i c o t r z y m u j e m y ® = x 0 , g d z i e
j
x j ¡ 1 ¡ x j ¡ 2
( x j ¡ x j ¡ 1 ) 2
x 0 = x j ¡ : ( 1 0 3 )
j
x j ¡ 2 x j ¡ 1 + x j ¡ 2
M o |n a w y k a z a , |e
µ ¶
x 0 ¡ ®
x j + 1 ¡ x j
j
l i m x j = ® ; l i m = p ; j p j < 1 = ) l i m = 0 :
j ! 1 j ! 1 j ! 1
x j ¡ x j ¡ 1 x j ¡ ®
1 0
I n a c z e j m ó w i c , p r z y p o w y |s z y c h z a Bo |e n i a c h c i g f x 0 g j e s t z b i e |n y s z y b c i e j d o ® n i | c i g f x n g . E k s t a r p o l a c j a
n
A i t k e n a j e s t z b l i |o n a p o m y s Be m d o e k s t a r p o l a c j i R i c h a r d s o n a , w k t ó r e j p o d o b n i e m o |e m y o t r z y m a u l e p s z o n e w y n i k i
n a p o d s t a w i e k i l k u o b l i c z o n y c h w c z e [n i e j w a r t o [c i .
U W A G A : ( i ) Z a u w a |y n a l z y , |e m e t o d a A i t k e n a m o |e b y u |y w a n a d o p r z y s p i e s z a n i a z b i e |n o [c i d o w o l n e g o
c i g u , c h o p r z e z n a c z o n a j e s t p r z e d e w s z y s t k i m d o c i g ó w z b i e |n y c h l i n i o w o .
( i i ) S t o s u j c e k s t r a p o l a c j A i t k e n a d o c i g ó w z b i e |n y c h l i n i o w o m o |e m y u z y s k a z b i e |n o [ k w a d r a t o w
P R Z Y K AA D 8 . C i g x n = c o s ( 1 = n ) j e s t z b i e |n y l i n i o w o d o ® = 1 . W y k o r z y s t u j c m e t o d A i t k e n a , m o z n a
p r z y s p i e s z y z b i e |n o [ t e g o c i g u z n a s t e p u j c y m e f e k t e m :
^
n x n x n
1 0 : 5 4 0 3 0 : 9 6 1 8
2 0 : 8 7 7 6 0 : 9 8 2 1
3 0 : 9 4 5 0 0 : 9 8 9 8
4 0 : 9 6 8 9 0 : 9 9 3 4
5 0 : 9 8 0 1
6 0 : 9 8 6 1
I s t n i e j d w a s p o s o b y w y k o r z y s t y w a n i a e k s t r a p o l a c j i A i t k e n a : b i e r n y i c z y n n y .
1 . S p o s ó b b i e r n y : s t o s u j e m y p r z e k s z t a Bc e n i e c i g u z b i e |n e g o d o r o z w i z a n i a p o w y k o n a n i u k a |d e g o k r o k u i t e r a -
c y j n e g o , c z y l i x 0 = A ( x 0 ; x 1 ; x 2 ) , x 0 = A ( x 1 ; x 2 ; x 3 ) , i t d . ;
2 3
2 . S p o s ó b c z y n n y : p r z e k s z t a Bc e n i e w y k o n u j e m y c o t r z e c i k r o k i t e r a c y j n y , t z n . o b l i c z a m y x 1 ; x 2 w z w y k By s p o s ó b ,
n a s t p n i e x 3 = x 0 z a p o m o c w z o r u ( 1 0 3 ) i k o l e j n o x 4 ; x 5 n o r m a l n i e i z n ó w x 6 = x 0 z a p o m o c e k s t r a p o l a c j i , i t d .
2 5
P R Z Y K AA D 9 . R ó w n a n i e x = e ¡ x p o s i a d a j e d e n p i e r w i a s t e k ® ¼ 0 : 5 6 7 . Z b a d a j m y p r o c e s r o z w i z y w a n i a t e g o
r ó w n a n i a z a p o m o c a m e t o d y i t e r a c y j n e j x n + 1 = e ¡ x n i p r z y s p i e s z a n i a z b i e |n o [c i z a p o m o c e k s t r a p o l a c j i A i t k e n a .
O t r z y m a m y n a s t p u j c y n a p r z e m i e n n y c i g p r z y b l i |e D:
n x n
0 0 : 5 6 7 0 0 0 6 0 : 5 6 7 1 3 9
1 2 2 5 7 1 4 6
2 0 9 7 8 1 4 2
3 1 6 9 9 1 4 4
4 1 2 9 1 0 1 4 3
5 1 5 2
N a t o m i a s t b e z w z g l d u n a t o , k t ó r e g o s c h e m a t u e k s t r a p o l a c j i A i t k e n a u |y j e m y , t o j u | p o p i e r w s z y m z a s t o s o w a n i u
w z o r u ( 1 0 3 ) o t r z y m a m y p r z y b l i |e n i e 0 : 5 6 7 1 4 3 , k t ó r e w k o l e j n y c h k r o k a c h n i e u l e g a z m i a n i e .
P R Z Y K AA D 1 0 . S t o s u j c m e t o d A i t k e n a d o l i n i o w o z b i e |n e g o c i g u o t r z y m a n e g o z a p o m o c i t e r a c j i p u n k t u
s t a Be g o , m o |e m y p r z y s p i e s z y z b i e |n o [ d o k w a d r a t o w e j ( a l e n i e w k a |d y m p r z y p a d k u - z a l e |y t o o d w Ba s n o [c i f u n k c j i
i t e r a c y j n e j ' ) . J e [l i r o z w a |y m y f u n k c j i t e r a c y j n ' 4 ( x ) = ( 1 0 = ( x + 4 ) ) 1 = 2 d o r o z w i z a n i a r ó w n a n i a x 3 + 4 x 2 ¡ 1 0 = 0
i p r z y b l i |e n i e p o c z t k o w e x 0 = 1 : 5 , t o s c h e m a t c z y n n y A i t k e n a d a n a m 1 0 c y f r d o k Ba d n y c h p o 7 k r o k a c h ( p o d c z a s ,
g d y m e t o d a p u n k t u s t a Be g o p o t r z e b o w a Ba 1 5 k r o k ó w ) .
6 . 7 . R ó w n a n i a a l g e b r a i c z n e
W t e j c z [c i r o z w a |y m y z a d a n i e r o z w i z y w a n i a r ó w n a D a l g e b r a i c z n y c h p o s t a c i :
P ( x ) = a n x n + a n ¡ 1 x n ¡ 1 + : : : + a 1 x + a 0 = 0 ; a n = 0 : ( 1 0 4 )
6
Z g o d n i e z p o d s t a w o w y m t w i e r d z e n i e m a l g e b r y , r ó w n a n i e ( 1 0 4 ) m a d o k Ba d n i e n p i e r w i a s t k ó w ® 1 ; ® 2 ; : : : ; ® n ( r z e c z y -
w i s t y c h i z e s p o l o n y c h ) o r a z d a j e s i p r z e d s t a w i w p o s t a c i :
P ( x ) = a n ( x ¡ ® 1 ) : : : ( x ¡ ® n ) ;
g d z i e ® i n i e m u s z a b y r ó |n e o r a z e w e n t u a l n e p i e r w i a s t k i z e s p o l o n e s w p a r a c h s p r z |o n e .
P o w y |s z e z a d a n i e m o |n a r o z w i a z y w a o c z y w i [c i e d o w o l n m e t o d r o z w i z y w a n i a r ó w n a D n i e l i n i o w y c h , n p . m e t o d
N e w t o n a c z y s i e c z n y c h , j e d n a k u m o |l i w i a j o n e t y l k o z n a l e z i e n i e j e d n e g o p i e r w i a s t k a r z e c z y w i s t e g o , j e s l i i s t n i e j e ,
p r z y c z y m d l a i n n e g o p r z y b l i |e n i a p o c z t k o w e g o m o |e m y o t r z y m a i n n e r o z w i z a n i e . D l a t e g o t e | s t o s u j e s i e d o w o l n
m e t o d w p o w i z a n i u z t z w . d z i e l e n i e m s y n t e t y c z n y m ( p a t r z u w a g a p o s c h e m a c i e H o r n e r a ( 8 ) ) . U |y j m y t y c h w z o r ó w
w n a s t p u j c e j , w y g o d n e j d o r e a l i z a c j i n u m e r y c z n e j , p o s t a c i : j e [l i
b n = a n ( 1 0 5 )
b k = a k + b k + 1 x d l a k = n ¡ 1 ; n ¡ 2 ; : : : ; 0
~
1 1
t o
P ( ~ = b 0
x )
Q ( x ) = b n ¡ 1 x n ¡ 1 + b n ¡ 2 x n ¡ 2 + : : : + b 2 x + b 1
P ( x ) = ( x ¡ x ) Q ( x ) + b 0
~
N a s t p n i e , r ó |n i c z k u j c o s t a t n r o w n o [ o t r z y m u j e m y
0 0
P ( x ) = Q ( x ) + ( x ¡ x ) Q 0 ( x ) o r a z P ( ~ = Q ( ~
~ x ) x ) :
Z a t e m , j e [l i s t o s u j e m y n p . m e t o d N e w t o n a , t o w y k o r z y s t u j c s c h e m a t H o r n e r a , Ba t w o m o |e m y o b l i c z y w a r t o [c i P ( ~
x )
0
o r a z P ( ~ p o t r z e b n e w k a |d y m k r o k u i t e r a c y j n y m ( n i e u |y w a j c w z o r u p o c h o d n e j f u n k c j i P ) . O c z y w i [c i e w i e l o m i a n
x ) ,
Q ( x ) w k a |d y m k r o k u j e s t i n n y .
J e [l i p o N i t e r a c j a c h p r o c e d u r a N e w t o n a z n a l a z Ba p r z y b l i |e n i e p i e r w i a s t k a x N , t o
P ( x ) = ( x ¡ x N ) Q 1 ( x ) + b 0 = ( x ¡ x N ) Q 1 ( x ) + P ( x N ) ¼ ( x ¡ x N ) Q 1 ( x ) ;
z a t e m p r z y j m u j e m y ® 1 = x N i m o |e m y s z u k a d r u g i e g o p i e r w i a s t k a w i e l o m i a n u P , s t o s u j c p r o c e d u r N e w t o n a
d o o s t a t n i e g o z w i e l o m i a n ó w Q 1 ( x ) , k t ó r y j e s t s t o p n i a n ¡ 1 . Z a t e m p o w y k o n a n i u d e ða c j i k - k r o t n i e o t r z y m a m y
n a s t p u j c a z a l e |n o [:
P ( x ) ¼ ( x ¡ ® 1 ) ( x ¡ ® 2 ) : : : ( x ¡ ® k ) Q k ( x ) :
C o p r a w d a d e ða c j a z m n i e j s z a l i c z b d z i a Ba D, a l e p r z y b l i |e n i e p i e r w i a s t k a ® k + 1 w i e l o m a n u Q k m o |e o g ó l n i e n i e b y
d o b r y m p r z y b l i |e n i e m w i e l o m i a n u o r y g i n a l n e g o P ( x ) ( z e w z g l d u n a k u m u l o w a n i e s i b Bd ó w o b l i c z a n i a w s p ó Bc z y n -
n i k ó w b i ) . J e d n y m z e s p o s o b ó w w y e l i m i n o w a n i a t e g o p r o b l e m u , m o |n a p o w y z n a c z e n i u w s z y s t k i c h r z e c z y w i s t y c h
p i e r w i a s t k ó w w i e l o m i a n u P ( x ) u |y i c h j a k o p r z y b l i |e D p o c z t k o w y c h d l a m e t o d y N e w t o n a z a s t o s o w a n e j p o n o w n i e
d o w i e l o m i a n u P .
U W A G A : D o w o l n m e t o d r o z w i z y w a n i a r ó w n a D n i e l i n i o w y c h m o |n a r ó w n i e | s t o s o w á c w w e r s j i z e s p o l o n e j ,
t z n . w p r z y p a d k u , g d y w s p ó Bc z y n n i k i w i e l o m i a n u s z e s p o l o n e l u b s r z e c z y w i s t e , a l e w i e l o m i a n p o s i a d a p i e r w i a s t k i
z e s p o l o n e . N a l e |y j e d n a k p a m i t a , |e j e [l i p r z y b l i |e n i e p o c z t k o w e j e s t l i c z b r z e c z y w i s t , t o o t r z y m a m y t y l k o
p i e r w i a s t k i r z e c z y w i s t e . A b y s z u k a p i e r w i a s t k ó w z e s p o l o n y c h , t r z e b a r o z p o c z o b l i c z e n i a z p u n k t u s t a r t o w e g o z e -
s p o l o n e g o i w s z y s t k i e o b l i c z e n i a w y k o n y w a w a r y t m e t y c e z e p o l o n e j .
A l t e r n a t y w n y s p o s ó b z n a j d o w a n i a p i e r w i a s t k ó w z e s p o l o n y c h j e s t o p a r t y n a p o n i |s z y m l e m a c i e :
L E M A T 6 3 . J e [l i z = a + b i j e s t z e s p o l o n y m p i e r w i a s t k i e m o k r o t n o [c i q w i e l o m i a n u P , t o ¹ = a ¡ b i j e s t r ó w n i e |
z
j e g o p i e r w i a s t k i e m o k r o t n o [c i q o r a z ( x 2 ¡ 2 a x + a 2 + b 2 ) q j e s t d z i e l n i k i e m w i e l o m i a n u P .
T e c h n i k a , k t ó r a o m ó w i m y , z w . m e t o d M ü l l e r a , m o |e b y u |y w a n a r ó w n i e | d o r o z w i z y w a n i a d o w o l n y c h r ó w n a D
n i e l i n i o w y c h , a l e w p r z y p a d k u r ó w n a n a l g e b r a i c z n y c h j e s t s z c z e g ó l n i e u |y t e c z n a . J e s t o n a u o g ó l n i e n i e m m e t o d y
s i e c z n y c h , j e d n a k z a m i a s t d w ó c h p u n k t ó w , u |y w a t r z e c h p r z y b l i |e Dp o c z t k o w y c h x 0 ; x 1 i x 2 . N a s t p n e p r z y b l i |e n i e
x 3 j e s t w y z n a c z o n e j a k o p r z e c i c i e p a r a b o l i w y z n a c z o n e j p r z e z p u n k t y ( x 0 ; f ( x 0 ) ) ; ( x 1 ; f ( x 1 ) ) i ( x 2 ; f ( x 2 ) ) z o s i
O X . R o z w i z u j c o d p o w i e d n i u k Ba d r ó w n a D z 3 n i e w i a d o m y m i ( a ( x ¡ x 2 ) 2 + b ( x ¡ x 2 ) + c ) , m o |e m y w y z n a c z y
w s p ó Bc z y n n i k i t a k i e j p a r a b o l i j a k o :
c = f ( x 2 ) ( 1 0 6 )
( x 0 ¡ x 2 ) 2 ( f ( x 1 ) ¡ f ( x 2 ) ) ¡ ( x 1 ¡ x 2 ) 2 ( f ( x 0 ) ¡ f ( x 2 ) )
b =
( x 0 ¡ x 2 ) ( x 1 ¡ x 2 ) ( x 0 ¡ x 1 )
( x 1 ¡ x 2 ) ( f ( x 0 ) ¡ f ( x 2 ) ) ¡ ( x 0 ¡ x 2 ) ( f ( x 1 ) ¡ f ( x 2 ) )
a =
( x 0 ¡ x 2 ) ( x 1 ¡ x 2 ) ( x 0 ¡ x 1 )
A b y w y z n a c z y x 3 , b d c e p i e r w i a s t k i e m k o n s t r u o w a n e j f u n k c j i k w a d r a t o w e j , s t o s u j e m y z w y k Be w z o r y z ¢ , j e d n a k
w n i e c o i n n e j p o s t a c i , p o z w a l a j c e j u n i k n e w e n t u a l n y c h b Bd ó w s p o w o d o w a n y c h o d e j m o w a n i e m l i c z b b l i s k i c h :
¡ 2 c
x 3 ¡ x 2 = p :
b § b 2 ¡ 4 a c
M a m y d w a m o |l i w e p r z y b l i |e n i a d l a x 3 , z a l e |n e o d z n a k u p o p r z e d z a j c e g o p i e r w i a s t e k k w a d r a t o w y . Z n a k w y b i e r a s i
w z g o d n i e z e z n a k i e m b , w ó w c z a s o t r z y m a m y w i e k s z y m i a n o w n i k i w e f e k c i e p r z y b l i |e n i e , k t ó r e j e s t b l i |s z e w a r t o [c i
x 2 . M i a n o w i c i e
2 c
x 3 = x 2 ¡ p : ( 1 0 7 )
b + s g n ( b ) b 2 ¡ 4 a c
I w t e n s p o s ó b k o n t y n u u j e m y p r o c e d u r i t e r a c y j n , u |y w a j c w n a s t e p n y m k r o k u p r z y b l i |e D x 1 ; x 2 i x 3 , a b y z n a l e z
n a s t p n e x 4 . O c z y w i [c i e , m e t o d a p r z y b l i |a p i e r w i a s t k i z e s p o l o n e , o i l e u |y w a s i a r y t m e t y k i z e s p o l o n e j ( z e w z g l d u
1 2
n a t o , |e w k a |d y m k r o k u o b l i c z a n y j e s t p i e r w i a s t e k k w a d r a t o w y ) .
U W A G A : ( i ) M e t o d a M ü l l e r a z a w o d z i w s y t u a c j i , g d y w y b i e r z e m y p r z y b l i |e n i a p o c z t k o w e t a k i e , |e f ( x 0 ) =
f ( x 1 ) = f ( x 2 ) l u b i t e r a c j a w y g e n e r u j e t r z y k o l e j n e p r z y b l i |e n i a m a j c e t a k w Ba s n o [. W ó w c z a s p a r a b o l a r e d u k u j e
s i d o p r o s t e j r ó w n o l e g Be j d o o s i O X .
( i i ) M e t o d a M ü l l e r a j e s t m n i e j s k u t e c z n a o d m e t o d y N e w t o n a . J e j r z d z b i e |n o [c i w y n o s i w p r z y b l i |e n i u 1 : 8 4 , c o
o z n a c z a j e d n a k , |e j e s t l e p s z a o d m e t o d y s i e c z n y c h .
( i i i ) I n n e z n a n e m e t o d y , n p m e t o d a B a i r s t o w a l u b a l g o r y t m Q - D s j u | z d e c y d o w a n i e t r u d n i e j s z e w r e a l i z a c j i n u -
m e r y c z n e j .
6 . 7 . 1 . L o k a l i z a c j a p i e r w i a s t k ó w r z e c z y w i s t y c h r ó w n a D a l g e b r a i c z n y c h
P o d s t a w o w e w Ba s n o [c i u Ba t w i a j c e l o k a l i z a c j p i e r w i a s t k ó w r ó w n a D n i e l i n i o w y c h :
- j é s l i n a k r a Dc a c h p e w n e g o p r z e d z i a Bu f u n k c j a c i g Ba p r z y j m u j e w a r t o [c i r ó |n y c h z n a k ó w , t o w t y m p r z e d z i a l e
z n a j d u j e s i c o n a j m n i e j 1 p i e r w i a s t e k .
- j é s l i d o d a t k o w o p i e r w s z a p o c h o d n a f u n k c j i n i e z m i e n i a n a t y m p r z e d z i a l e z n a k u , t o i s t n i e j e t a m d o k Ba d n i e 1
p i e r w i a s t e k .
- j é s l i n a k r a Dc a c h p e w n e g o p r z e d z i a Bu f u n k c j a c i g Ba p r z y j m u j e w a r t o [c i t e g o s a m e g o z n a k u , t o w t y m p r z e d z i a l e
n i e m a p i e r w i a s t k ó w a l b o j e s t i c h p a r z y s t a l i c z b a .
T W I E R D Z E N I E 6 4 ( S t u r m a ) . L i c z b a r ó |n y c h p i e r w i a s t k ó w r z e c z y w i s t y c h w i e l o m a n u P ( x ) w p r z e d z i a l e [ a ; b ] ,
P ( a ) P ( b ) = 0 , j e s t r ó w n a r ó |n i c y m i d z y l i c z b a m i z m i a n z n a k u w c i g u S t u r m a d l a w i e l o m i a n u P p r z y x = a i x = b
6
( n i e u w z g l d n i a j c z e r ) N ( a ; b ) = N ( a ) ¡ N ( b ) . . C i g S t u r m a P 0 ( x ) ; : : : ; P l ( x ) k o n s t r u u j e s i n a s t p u j c o :
P 0 ( x ) = P ( x ) ( 1 0 8 )
0
P 1 ( x ) = P ( x )
P 2 ( x ) = r e s z t a z d z i e l e n i a P 0 ( x ) p r z e z P 1 ( x ) w z i t a z p r z e c i w n y m z n a k i e m
P 3 ( x ) = r e s z t a z d z i e l e n i a P 1 ( x ) p r z e z P 2 ( x ) w z i t a z p r z e c i w n y m z n a k i e m , i t d .
a | P l + 1 ( x ) = 0 , a P l ( x ) j e s t o s t a t n i r e s z t r ó |n a o d z e r a .
U W A G A : ( i ) J e [l i P l ( x ) = r 2 R , t o w i e l o m i a n P n i e m a z e r w i e l o k r o t n y c h , w p r z e c i w n y m r a z i e , j e [l i P l ( x ) j e s t
k - t e g o s t o p n i a , t o j e g o p i e r w i a s t e k j e s t k + 1 - k r o t n y m p i e r w i a s t k i e m w i e l o m i a n u P .
( i i ) J e [l i P ( 0 ) = 0 , t o m o |n a o k r e [l i l i c z b y p i e r w i a s t k ó w d o d a t n i c h i u j e m n y c h , a m i a n o w i c i e N + = N ( 0 ) ¡ N ( + 1 )
6
o r a z N ¡ = N ( ¡ 1 ) ¡ N ( 0 ) .
( i i i ) P o n i e w a | i s t o t n e s d l a n a s t y l k o z n a k i , t o m o |n a k o l e j n e w i e l o m i a n y m n o |y p r z e z o d p o w i e d n i a d o d a t n i l i c z b ,
a b y d l a w y g o d y o p e r o w a w s p ó Bc z y n n i k a m i c a l k o w i t y m i .
P R Z Y K AA D 1 : R o z w a |m y r ó w n a n i e x 4 ¡ 4 x + 1 = 0 : C i g S t u r m a m a p o s t a :
P 0 ( x ) = x 4 ¡ 4 x + 1 ; P 1 ( x ) = x 3 ¡ 1 ; P 2 ( x ) = 3 x ¡ 1 ; P 3 ( x ) = 1 ;
s t d N ( ¡ 1 ) = 2 , N ( 0 ) = 2 , N ( + 1 ) = 0 , c z y l i r o z w a |a n e r ó w n a n i e m a 2 p i e r w i a s t k i d o d a t n i e o r a z |a d n e g o
u j e m n e g o . W y n i k a s t d r ó w n i e |, |e d w a p i e r w i a s t k i r ó w n a n i a s z e s p o l o n e .
M e t o d y l o k a l i z a c j i :
T W I E R D Z E N I E 6 5 ( L a g r a n g e a ) . Z a Bó |m y , |e a n > 0 i a k ; k ¸ 1 j e s t p i e r w s z y m w s p ó Bc z y n n i k i e m u j e m n y m
w i e l o m i a n u P ( x ) . W ó w c z a s z a k r e s g ó r n y p i e r w i a s t k ó w r z e c z y w i s t y c h d o d a t n i c h w i e l o m i a n u P ( x ) m o |n a p r z y j
l i c z b
s
j B j
n ¡ k
R = 1 + ;
a n
g d z i e B j e s t n a j w i k s z y m c o w a r t o [c i b e z w z g l d n e j w s p ó Bc z y n n k i e m u j e m n y m w i e l o m i a n u P ( x ) .
U W A G A : ( i ) J e [l i r o z p a t r z y m y d o d a t k o w o w i e l o m i a n y
µ ¶ µ ¶
1 1
P 1 ( x ) = x n P ; P 2 ( x ) = P ( ¡ x ) ; P 3 ( x ) = x n P ¡ ;
x x
i k r e s y g ó r n y p i e r w i a s t k ó w d o d a t n i c h t y c h r ó w n a D w y n o s z o d p o w i e d n i o R 1 ; R 2 i R 3 , t o l i c z b a 1 = R 1 j e s t k r e s e m
d o l n y m p i e r w i a s t k ó w d o d a t n i c h w i e l o m i a n u P ( x ) , z a [ l i c z b y ¡ R 2 i ¡ 1 = R 3 s o d p o w i e d n i o k r e s a m i d o l n y m i g ó r n y m
p i e r w i a s t k ó w u j e m n y c h w i e l o m i a n u P ( x ) .
( i i ) J e [l i j B j À j a n j , t o o t r z y m a m y m o c n o z a w y |o n e o s z a c o w a n i e .
P R Z Y K AA D 2 : R o z w a |m y r ó w n a n i e x 4 ¡ 3 5 x 3 + 3 8 0 x 2 ¡ 1 3 5 0 x + 1 0 0 0 = 0 ( ¦ ) . W ó w c z a s n = 4 , a n = 1 ,
1 3 5 0
k = 3 , B = ¡ 1 3 5 0 . Z a t e m R = 1 + < 1 3 5 1 . Z k o l e i P 1 ( x ) = 1 0 0 0 x 4 ¡ 1 3 5 0 x 3 + 3 8 0 x 2 ¡ 3 5 x + 1 i n = 4 ,
1
1 3
1 1
a n = 1 0 0 0 , k = 3 , B = 1 3 5 0 , c o o z n a c z a , |e = > 0 : 4 2 . O s t a t e c z n i e w s z y s t k i e p i e r w i a s t k i d o d a t n i e
R 1 1 3 5 0
1 +
1 0 0 0
w i e l o m i a n u P s p e Bn i a j n i e r ó w n o [
0 : 4 2 · x · 1 3 5 1 :
N a t o m i a s t P 2 ( x ) = x 4 + 3 5 x 3 + 3 8 0 x 2 + 1 3 5 0 x + 1 0 0 0 , c z y l i n i e i s t n i e j e k i o z n a c z a t o , |e w i e l o m i a n P ( x ) n i e
p o s i a d a p i e r w i a s t k a r z e c z y w i s t e g o u j e m n e g o .
M e t o d a r o z k Ba d u :
R o z Bó |m y w i e l o m i a n P ( x ) w n a s t p u j c y s p o s ó b : P ( x ) = ' ( x ) + Ã ( x ) , g d z i e ' ( x ) z a w i e r a w s z y s t k i e d w u m i a n y o
w s p ó Bc z y n n i k a c h u j m e n y c h o r a z d o d a t n i c h w y |s z e g o s t o p n i a o d n a j w i e k s z e g o u j e m n e g o , z a [ Ã ( x ) - p o z o s t a Be . L i c z b a
a > 0 t a k a , |e ' ( a ) > 0 , j e s t k r e s e m g ó r n y m p i e r w i a s t k ó w d o d a t n i c h , z a [ p o z o s t a Be k r e s y o k r e [l a s i a n a l o g i c z n i e j a k
w p r z y p a d k u k o r z y s t a n i a z t w . L a g r a n g e a .
P R Z Y K AA D 3 : R o z w a |m y r ó w n a n i e ( ¦ ) . W ó w c z a s ' ( x ) = x 4 ¡ 3 5 x 3 ¡ 1 3 5 0 x o r a z à ( x ) = 3 8 0 x 2 + 1 0 0 0 :
N p . ' ( 3 7 ) = 1 8 2 2 9 1 6 : O c z y w i [c i e P 1 ( x ) = 1 0 0 0 x 4 ¡ 1 3 5 0 x 3 + 3 8 0 x 2 ¡ 3 5 x + 1 u z y s k u j e m y ' 1 ( x ) = 1 0 0 0 x 4 ¡
1 3 5 0 x 3 ¡ 3 5 x , s k d n p . ' 1 ( 1 : 4 ) = 8 8 : 2 . O s t a t e c z n i e w s z y s t k i e p i e r w i a s t k i d o d a t n i e s p e Bn i a j n i e r ó w n o [
0 : 7 · x · 3 7 .
M e t o d a c i g o w a :
G e n e r u j e s i c i g f q i g n w n a s t p u j c y s p o s ó b :
i = 1
s
j a n ¡ i j
i
q i =
j a n j
i p o r z d k u j e m a l e j c o . W s z y s t k i e p i e r w i a s t k i r z e c z y w i s t e c o d o w a r t o [c i b e z w z g l d n e j s m n i e j s z e o d s u m y d w ó c h
n a j w i k s z y c h l i c z b c i g u f q i g , n a t o m i a s t k r e s d o l n y o t r z y m a m y w t e n s a m s p o s ó b , w y k o r z y s t u j c w i e l o m i a n P 1 ( t a k
j a k w p o r z e d n i c h m e t o d a c h ) .
P R Z Y K AA D 4 : R o z w a |m y z n ó w r ó w n a n i e ( ¦ ) . W ó w c z a s
p p p
3 4
q 1 = 3 5 ; q 2 = 3 8 0 < 1 9 : 5 ; q 3 = 1 3 5 0 < 1 1 : 1 ; q 4 = 1 0 0 0 < 5 : 7 :
D l a w i e l o m i a n u P 1 ( x ) = 1 0 0 0 x 4 ¡ 1 3 5 0 x 3 + 3 8 0 x 2 ¡ 3 5 x + 1 o t r z y m a m y
r r r
3 8 0 3 5 1
3 4
q 1 = 1 : 3 5 ; q 2 = > 0 : 6 ; q 3 = > 0 : 3 ; q 4 = > 0 : 1 :
1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0
S t d w n i o s e k , |e w s z y s t k i e p i e r w i a s t k i r z e c z y w i s t e r o z w a |a n e g o r ó w n a n i a s p e Bn i a j n i e r ó w n o [
0 : 5 1 · j x j · 5 4 : 5
F a k t y c z n i e : x 1 ¼ 0 : 9 9 4 , x = 5 , x ¼ 1 1 : 4 7 4 , x ¼ 1 7 : 5 3 1 .
6 . 8 . U k Ba d y r ó w n a D n i e l i n i o w y c h
U k Ba d r o w n a D n i e l i n i o w y c h m a o g ó l n p o s t a ( 7 8 ) , g d z i e f : R n ! R n l u b d o k Ba d n i e j
8
f 1 ( x 1 ; x 2 ; : : : ; x n ) = 0
>
>
<
f 2 ( x 1 ; x 2 ; : : : ; x n ) = 0
( 1 0 9 )
: : :
>
>
:
f n ( x 1 ; x 2 ; : : : ; x n ) = 0
g d z i e f i : R n ! R d l a w s z y s t k i c h i = 1 ; 2 ; : : : ; n .
© ª ¡ ¢
N a j p i e r w z a j m i e m y s i z b i e |n o [c i c i g u x k s k o n s t r u o w a n e g o z a p o m o c w z o r u i t e r a c y j n e g o x ( k + 1 ) = ' x ( k ) ; k =
0 ; 1 ; 2 ; : : : w p r z y p a d k u p r z e s t r z e n i R n , k t ó r a j e s t , j a k w i a d o m o z u p e Bn a w t y m s e n s i e , |e s p e Bn i o n e j e s t k r y t e r i u m
z b i e |n o [c i C a u c h y e g o :
© ª
C i g x ( k ) ½ R n j e s t z b i e |n y w t e d y i t y l k o w t e d y , g d y d l a k a |d e g o " > 0 i s t n i e j e l i c z b a n a t u r a l n a K ; t a k a |e d l a
° °
( k )
° x
w s z y s t k i c h k ; j > K z a c h o d z i ¡ x ( j ) ° < " . P o n i |s z e t w i e r d z e n i a d o t y c z c e z b i e |n o [c i p o k a z u j , |e d a n y p r z e z
© ª
f u n k c j i t e r a c y j n ' c i g x ( k ) j e s t z b i e |n y d o p u n k t u ® , g d y ' j e s t o d w z o r o w a n i e m z w |a j c y m .
T W I E R D Z E N I E 6 6 . N i e c h f u n k c j a i t e r a c y j n a ' m a j e d e n p u n k t s t a By ® , t z n . t a k i , |e ' ( ® ) = ® . D a l e j n i e c h
I ( ® ; ¡ ) b d z i e t a k i m o t o c z e n i e m p u n k t u ® , |e ' j e s t o d w z o r o w a n i e m z w |j c y m w I ( ® ; ¡ ) , t z n . |e
k ' ( x ) ¡ ' ( y ) k · ½ k x ¡ y k , g d z i e 0 · ½ < 1 ;
© ª
d l a w s z y s t k i c h x ; y 2 I ( ® ; ¡ ) . W ó w c z a s , d l a w s z y s t k i c h x ( 0 ) 2 I ( ® ; ¡ ) c i g x k w y g e n e r o w a n y m e t o d i t e r a c y j n
' m a n a s t p u j c e w Ba s n o [c i :
( a ) x ( k ) 2 I ( ® ; ¡ ) d l a w s z y s t k i c h k = 0 ; 1 ; : : : ,
1 4
° ° ° °
° x ( k )
( b ) ¡ ® ° ª · ½ k ° x ( 0 ) ¡ ® ° ,
©
t z n . c i g x ( k ) j e s t z b i e |n y c o n a j m n i e j l i n i o w o d o ® .
D O W Ó D w y n i k a n a t y c h m i a s t z w Ba s n o [c i z w |a n i a . C z [c i ( a ) i ( b ) s p r a w d z i w e d l a k = 0 . P r z y j m u j c , |e s
p r a w d z i w e d l a l = 0 ; 1 ; : : : ; k m a m y n a t y c h m i a s t
° ° °
° x ( k + 1 ) ¡ ® ° = ° ³ x ( k ) ´ ¡ ' ( ® ) ° · ½ ° ¡ ® ° · ½ k + 1 ° ¡ ® ° · ¡ :
° ' ° x ( k ) ° ° x ( 0 ) °
° ° ° ° ° ° ° °
¥
N a s t p n e t w i e r d z e n i e j e s t z a o s t r z e n i e m p o w y |s z e g o . J e s t o n o i s t o t n e , j e s l i n i e z a k Ba d a s i i s t n i e n i a r o z w i z a n i a ® .
T W I E R D Z E N I E 6 7 . N i e c h ' b d z i e f u n k c j i t e r a c y j n , x ( 0 ) 2 R n - p r z y b l i |e n i e m p o c z t k o w y m i x ( k + 1 ) =
¡ ¢ ¡ ¢
' x ( k ) . D a l e j , n i e c h b d d a n e o t o c z e n i e I x ( 0 ) ; ¡
¡ ¢ p u n k t u x ( 0 ) o r a z s t a Ba ½ t a k i e , |e
( 1 ) k ' ( x ) ¡ ' ( y ) k · ½ ¡ ¡ ¢ y k d l a x ; y 2 I x ( 0 ) ; ¡ ,
k x
° °
° x ( 1 ) ° °
° '
( 2 ) ¡ x ( 0 ) ° = x ( 0 ) ¡ x ( 0 ) ° · ( 1 ¡ ½ ) ¡ < ¡ .
W ó w c z a s
¡ ¢
( a ) x ( k ) 2 I x ( 0 ) ; ¡ w s z y s t k i c h k = 0 ; 1 ; : : : ,
¡ ¢ d l a
( b ) ' m a w I x ( 0 ) ; ¡ d o k Ba d n i e j e d e n p u n k t s t a By ® ,
° °
° x ( k + 1 ) ¡ ® ° · ½ ° ¡ ® ° ;
° x ( k ) °
l i m x ( k ) = ® ,
° ° ° °
k ! 1
o r a z ( o s z a c o w a n i e b Bd u )
° °
° x ( k ) ¡ ® ° · ½ k ° ¡ x ( 0 ) ° :
° x ( 1 ) °
° ° ° °
1 ¡ ½
D O W Ó D p o m i j a m y .
W i e l e m e t o d s k o n s t r u o w a n y c h d l a p r z y p a d k u j e d n o w y m i a r o w e g o m a s w o j e o d p o w i e d n i k i d l a u k Ba d ó w p o s t a c i
( 1 0 9 ) , z a c h o w u j c s w ó j r z d z b i e |n o [c i . J e d n z n i c h j e s t m e t o d a N e w t o n a . W c e l u j e j u |y c i a m u s i m y s k o n s t r u o w a
m a c i e r z J a c o b i e g o ( z w a n j a k o b i a n e m ) , a m i a n o w i c i e :
2 3
@ f 1 ( x ) @ f 1 ( x ) @ f 1 ( x )
: : :
@ x 1 @ x 2 @ x n
6 @ f 2 ( x ) @ f 2 ( x ) @ f 2 ( x )
7
J ( x ) = 6 @ x 1 @ x 2 : : : @ x n 7 : ( 1 1 0 )
6 7
4 : : : : : : : : : : : : 5
@ f n ( x ) @ f n ( x ) @ f n ( x )
: : :
@ x 1 @ x 2 @ x n
P r z y u |y c i u p o w y |s z e j s t r u k t u r y p r o c e d u r a i t e r a c y j n a N e w t o n a d l a w i e l o w y m i a r o w y c h r ó w n a D n i e l i n i o w y c h j e s t d a n a
w z o r e m :
³ ´ ¡ 1 ³
x ( k + 1 ) = x ( k ) ¡ J x ( k ) f x ( k ) d l a k ¸ 0 : ( 1 1 1 )
O c z y w i [c i e w o g ó l n y m p r z y p a d k u p o s i a d a o n a z b i e |n o [ k w a d r a t o w , ó i l e p r z y b l i |e n i e p o c z t k o w e j e s t d o s t a t e c z n i e
d o b r e i i s t n i e j e m a c i e r z J ( ® ) ¡ 1 .
W a d m e t o d y N e w t o n a j e s t k o n i e c z n o [ o d w r a c a n i a m a c i e r z y J a c o b i e g o w k a |d y m k r o k u . W p r a k t y c e , p o s t p u j e
¡ ¢ ¡ ¢
s i d w u e t a p o w o . N a j p i e r w z n a j d u j e s i t a k i w e k t o r y , k t ó r y s p e Bn i a r ó w n a n i e J x ( k ) y = ¡ f x ( k ) , a n a s t p n i e
n o w e p r z y b l i |e n i e x ( k + 1 ) o t r z y m u j e s i d o d a j c y d o x ( k ) . y j e s t w t e d y r o z w i z a n i e m u k Ba d u r o w n a D l i n i o w y c h ,
k t ó r e g o z n a l e z i e n i e j e s t z n a c z n i e m n i e j k o s z t o w n e n i | o d w r a c a n i e m a c i e r z y ( d o k Ba d n i e n - r a z y m n i e j ) .
O m i n i c i e p r o b l e m u o d w r a c a n i a j a k o b i a n u w k a |d y m k r o k u n a d a l j e d n a k d e c y d u j e o s t o s u n k o w e j s Ba b o [c i w i e l o w y m i -
a r o w e j m e t o d y N e w t o n a . K o n s t r u k c j a j a k o b i a n u w y m a g a o k r e [l e n i a i o b l i c z e n i a n 2 p o c h o d n y c h c z s t k o w y c h f u n k c j i
n - z m i e n n y c h . W w i e l u s y t u a c j a c h i c h d o k Ba d n e o b l i c z e n i e j e s t i n c o n v e n i e n t i w w i e l u z a s t o s o w a n i a c h n i e m o |l i w e .
S t o s u j e s i w ó w c z a s s k o Dc z o n a p r o k s y m a c j r ó |n i c o w p o c h o d n y c h c z s t k o w y c h , a m i a n o w i c i e
¡ ¢ ¡ ¢
f i x ( k ) + e j h ¡ f i x ( k )
@ f i ³ ´
x ( k ) ¼ ; ( 1 1 2 )
@ x j h
g d z i e h j e s t m a B, c o d o w a r t o [c i b e z w z g l d n e j , l i c z b , a e j - j - t y m w e k t o r e m j e d n o s t k o w y m ( j e d y n n i e z e r o w
w s p ó Br z d n r ó w n 1 m a n a j - t e j p o z y c j i ) . S t o s o w a n i e p o w y |s z e j a p r o k s y m a c j i w y m a g a n a d a l o b l i c z a n i a n 2 w a r t o [c i
f u n k c j i , a l e o m i j a k o n i e c z n o [ o k r e [l e n i a p o c h o d n y c h c z s t k o w y c h . P o n i e w a | w z ó r ( 1 1 2 ) j e s t s z c z e g ó l n y m p r z y -
p a d k i e m f o r m u By d w u p u n k t o w e j p r z y b l i |a n i a p i e r w s z e j p o c h o d n e j , t o u z y s k a n a w t e n s p o s ó b m e t o d a q u a s i - N e w t o n a
j e s t u o g ó n i e n i e m j e d n o w y m i a r o w e j m e t o d y s i e c z n y c h . Z n a n e s r ó w n i e | i n n e w e r s j e m e t o d q u a s i - N e w t o n a , n p .
m e t o d a B r o y d e n a , w k t ó r e j z a m i a s t m a c i e r z y J a c o b i e g o u |y w a s i p e w n e j m a c i e r z y a p r o k s y m a c y j n e j , a k t u a l i z o w a n e j
w k a |d y m k r o k u . T e g o t y p u m e t o d y w o g ó l n y m p r z y p a d k u s j e d e n a k z b i e |n e t y l k o s u p e r l i n i o w o .
1 5
I n n s Ba b o [c i m e t o d N e w t o n a i q u a s i - N e w t o n a j e s t k o n i e c z n o [ p o s i a d a n i a d o s t a t e c z n i e d o b r e g o p r z y b l i |e n i a
p o c z t k o w e g o , a b y z a p e w n i z b i z n o [. R o z w a |y m y t e r a z m e t o d , k t ó r e j z b i e |n o [ j e s t t y l k o l i n i o w a , a l e z n a t u r y
g l o b a l n a . D l a t e g o t e | z w y k l e j e s t u |y w a n a p o d o b n i e j a k m e t o d a b i s e k c j i w p r z y p a d k u j e d n o w y m i a r o w y m , t z n . d o
z n a l e z i e n i a d o s t a t e c z n i e d o b r e g o p r z y b l i |e n i a p o c z t k o w e g o d l a t e c h n i k N e w t o n a .
M e t o d a n a j g Bb s z e g o s p a d k u o k r e [l a l o k l a n e m i n i m u m d l a f u n k c j i w i e l u z m i e n n y c h G : R n ! R . Z w i z e k m i d z y
m i n i m a l i z a c j f u n k c j i t e g o t y p u a r o z w i z a n i e m u k Ba d u r ó w n a D n i e l i n i o w y c h j e s t b a r d z o [c i s By , g d y | u k Ba d r ó w n a D
p o s t a c i ( 1 0 9 ) p o s i a d a r o z w i z a n i e w t e d y i t y l k o w t e d y , g d y f u n k c j a G z d e ðn i o w a n a w z o r e m
n
X
G ( x 1 ; x 2 ; : : : ; x n ) = [ f i ( x 1 ; x 2 ; : : : ; x n ) ] 2 ( 1 1 3 )
i = 1
p o s i a d a m i n i m a l n w a r t o [ z e r o .
M e t o d n a j g Bb s z e g o s p a d k u m o |n a o p i s a n a s t p u j c o :
h i T
1 . o b l i c z y w a r t o [ f u n k c j i G w p r z y b l i |e n i u p o c z t k o w y m x ( 0 ) = x ( 0 ) ; x ( 0 ) ; : : : ; x ( 0 ) ;
n
1 2
2 . o k r e [l i k i e r u n e k z p u n k t u x ( 0 ) , w k t ó r y m n a s t p u j e s p a d e k w a r t o [c i f u n k c j i G ;
3 . w y b r a w i e l k o [ k r o k u w t y m k i e r u n k u i z n a l e z n o w w a r t o [ x ( 1 ) ;
4 . p o w t ó r z y k r o k i 1 - 3 z x ( 0 ) z a s t p i o n y m p r z e z x ( 1 ) .
P o z o s t a j e o m ó w i t y l k o , j a k w y b i e r a w Ba [c i w y k i e r u n e k i o d p o w i e d n i w i e l k o [ k r o k u w t y m k i e r u n k u . F a k t , |e
f u n k c j a j e d n e j z m i e n n e j m o |e p o s i a d a m i n i m u m w p u n k c i e , w k t ó r y m p o c h o d n a s i z e r u j e r o z s z e r z a s i o c z y w i [c i e
n a f u n k c j e w i e l u z m i e n n y c h p r z y w y k o r z y s t a n i u p o j c i a g r a d i e n t u . P r z y p o m n i j m y , |e g r a d i e n t f u n k c j i G : R n ! R w
p u n k c i e x = [ x 1 ; x 2 ; : : : ; x n ] T d e ðn i u j e s i j a k o
· ¸ T
@ G @ G @ G
r G ( x ) = ( x ) ; ( x ) ; : : : ; ( x ) :
@ x 1 @ x 2 @ x n
Z p u n k t u w i d z e n i a m i n i m a l i z a c j i f u n k c j i w i e l u z m i e n n y c h , g r a d i e n t m a j e s z c z e j e d n w a |n w Ba s n o [. P r z y p u [c m y , |e
P n 2
v = [ v 1 ; v 2 ; : : : ; v n ] T j e s t w e k t o r e m j e d n o s t k o w y m p r z e s t r z e n i R n ( c z y l i k v k 2 = v i = 1 ) . P o c h o d n k i e r u n k o w
2 i = 1
f u n k c j i G w p u n k c i e x w k i e r u n k u v d e ðn i u j e s i j a k o
G ( x + t v ) ¡ G ( x )
G 0 ( x ; v ) = l i m :
t ! 0
t
P o c h o d n a k i e r u n k o w a m i e r z y z m i a n w a r t ó s c i f u n k c j i G w s t o s u n k u d o z m i a n y z m i e n n e j w k i e r u n k u v . M i a n o w i c i e ,
k i e r u n e k , w k t ó r y m p o c h o d n a k i e r u n k o w a o s i g a n a j w i k s z w a r t o [, j e s t r ó w n o l e g By d o g r a d i e n t u r G ( x ) , o i l e
r G ( x ) = 0 . W k o n s e k w e n c j i , k i e r u n k i e m n a j w i k s z e g o s p a d k u w a r t o [c i f u n k c j i G w p u n k c i e x j e s t ¡ r G ( x ) .
6
W Ba [c i w y m w y b o r e m n a s t p n e g o p r z y b l i |e n i a j e s t z a t e m
³ ´
x ( 1 ) = x ( 0 ) ¡ ° r G x ( 0 ) ( 1 1 4 )
d l a p e w n e j s t a Be j ° > 0 .
¡ ¢ ¡ ¢
P r o b l e m r e d u k u j e s i t e r a z t y l k o d o w y b o r u t a k i e g o ° , b y w a r t ó s G x ( 1 ) b y Ba i s t o t n i e m n i e j s z a n i | G x ( 0 ) : A b y
o k r e [l i w Ba [c i w y w y b ó r w a r t o [c i ° , r o z w a |y m y f u n k c j e j e d n e j z m i e n n e j
³ ³ ´ ´
h ( ® ) = G x ( 0 ) ¡ ° r G x ( 0 ) :
O d p o w i e d n i a b d z i e t a k a w a r t o [ ° , k t ó r a m i n i m a l i z u j e h .
Z n a l e z i e n i e m i n i m a l n e j w a r t o [c i f u n k c j i h w s p o s ó b b e z p o [r e d n i w y m a g a z r ó |n i c z k o w a n i a h i o k r é s l e n i a p u n k -
t ó w k r y t y c z n y c h , c o o g ó l n i e j e s t z b y t k o s z t o w n e . Z a m i a s t t e g o w y b i e r a s i t r z y n i e u j e m n e p r z y b l i |e n i a ° 1 , ° 2 i ° 3 .
N a s t p n i e k o n s t r u u j e s i f u n k c j k w a d r a t o w , k t ó r a i n t e r p o l u j e h w t y c h p u n k t a c h i ° w y b i e r a s i j a k o l i c z b k t ó r a m i n -
i m a l i z u j e t f u n k c j k w a d r a t o w . W y b r a n a w a r t o [ j e s t u |y w a n a , a b y o k r e [l i n o w e p r z y b l i |e n i e z g o d n i e z w z o r e m
( 1 1 4 ) .
1 6
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