55944

[30 0 n Xn

• Wśród twierdzeń granicznych ważną rolę odgrywają twierdzenia o rozkładach granicznych sum niezależnych zmiennych losowych, w tym o zbieżności dystrybuant standaryzowanych sum niezależnych zmiennych losowych do dystrybuanty rozkładu normalnego. • Poza twierdzeniami o zbieżności do rozkładu normalnego istotne znaczenie mają tzw. prawa wielkich liczb, w których rozkładem granicznym jest rozkład jednopunktowy. Twierdzenia graniczne

Centralne twierdzenie graniczne Lindeberga-Levy 'ego

Integralne twierdzenie graniczne - twierdzenie mówiące o zbieżności ciągu dystrybuant

Jeśli {Xk} jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych o jednakowych rozkładach (identycznych wartościach oczekiwanych E(Xk)=E(X) oraz skończonych wariancjach D²(Xk)=D²(X), to ciąg dystrybuant (Fn(t)} zmiennych losowych T określonych wzorem

spełnia:

Dla każdej wartości t nXDXnEZT n n ) ( )(0 0

Wniosek 1 Zmienna losowa Zn określona wzorem    ma asymptotyczny rozkład

normalny

Wniosek 2 Jeśli dla określonych wyżej zmiennych losowych Zn rozpatrzymy zmienną    o

wartości oczekiwanej    i wariancji to z twierdzenia L-l otrzymujemy, że ciąg

zmiennych{Vn} jest zbieżny do rozkładu normalnego

Centralne twierdzenie graniczne Lindeberga-Levy‘ego

Populacja generalna    Próba losowa

Próbą losową prostą nazywamy ciąg n-zmiennych losowych niezależnych i posiadających jednakowe rozkłady takie jak rozkład zmiennej losowej X w populacji generalnej