60481

Kartografia matematyczna Współrzędne izometryczne - skrót

4.5 Współrzędne izometryczne

I forma kwadratowa powierzchni sparametryzowanej parametrami u i v:

ds* = Edn* + 2Fdudv+Gdv*

gdzie: n = const., v= const. - linie parametryczne dla F = 0 - siatka lini parametrycznych jest ortogonalna.

Współrzędne krzywoliniowe u v nazywane są izometrycznyini. jeżeli długość ds na powierzchni można wyrazić wzorem: ds² = //²(du² + dw²)    gdzie:    - dowobia funkcja parametrów u i v.

Jeżeli zatem współrzędne u i v są izometrycznyini to zachodzą następujące związki:

F=0, E = G = //

Twierdzenie:

Współrzędne u i v są izometryczne jeżeli:

1. siatka współrzędnych jest siatką ortogonalną.

2 przesunięcie ds wywołane zmiana współrzędnej u o wartość du = e jest równe przesunięciu ds wywołanemu zmiana współrzędnej v o dv = e

(gdzie e to nieskończenie mała. dowolnie obrana liczba)

Współrzędne elipsoidalne B,L nie są izometryczne.

M

zamiast współrzędnej B wprowadzimy nową współrzędną q taką, że dq =

otrzymamy zatem: ds² = N² cos² B(dq² +dL²)

Współrzędna q będzie równa:

(/ = f ^M dB czyli po rozwiązaniu _q =ln|tgf- -t-— ^>U¹ ~^{gSin B} V ^J0 NcosB    \    2 Jll-ł-esinB j

gdzie: q • współrzędna izometryczna (ważna w odwzorowaniach równokątnych) e - mimośród elipsoidy

NcosB

-dB

Warunki rówitokąOrości

(w przypadku stosowania współrzędnych izometrycznych)

Warunki równokątności odwzorowania elipsoidy obrotowej na płaszczyznę:

3/ _ r di oL M ćJB

di r ćb —— =---—    oraz

M ć&

Po zastąpieniu B,L współrzędnymi izomettycznymi q,L otrzymamy:

dx _ dy

_M    dL    dq

ponieważ    aa =-aa    zatem ^    „

Ncos B    dy _dx

dL dq

przedstawia warunki równokątności w zastosowaniu współrzędnych izometrycznych (Cauchy ego - Riemana)

Warunki te musi spełniać funkcja analityczna zmiennej zespolonej z = q*iL

x + iL= f(z)= f(q + tL)

1