54861

Dowód:

Wektory a i ,a 2 n są liniowo zależne =} «i«i +«₂a₂ +-+a_n^an =°ale istnieje CU *0

=> ^c*k^ak= ~<A^al —■■■—^^xk l^ak l ~<Zk*l^ak+l —■■■—<^xn^an =>

-a,

«fc-i

<W

«fc+l

^aJk+l“

-Sl«

=wynika, że jeden z wektorów da

się przedstawić jako kombinacja pozostały ch.<=

^am =Pa°\    °m-J +An+l°m+l +—

A^ai    -K-l)+An-n«f»H-i +—+Ai^an =°. Kombinacja jest nietry wialna

ponieważ Pn =-1*0, czyli wektory są liniowo zależne.

Definicja

Bazą przestrzeni liniowej V(K) nazywamy niepusty jej podzbiór, którego wektory e 1 są liniowo niezależne, przy czym każdy wektor V da się przedstawić w postaci kombinacji liniowej wektorów bazy. Ilość elementów w bazie nazywamy wymiarem przestrzeni i oznaczamy symbolem dimV. V3a=5p²*^e/ - rozkład wektora w bazie {e/}

Liczby zespolone Twierdzenie 1

Jeżeli liczby zespolone z i z’ są różne od zera, a cp 1 i 92 są dowolnymi argumentami tych liczb, to suma (p i +92 jest argumentem iloczynu zz’ zaś różnica 91-92 jest

argumentem ilorazu Twierdzenie 2 (wzory Moivre’a)

Jeżeli liczba zespolona z jest różna od zera, a 9 jest jej dowolnym argumentem, to liczba rzeczywista 119 , gdzie n€ N , jest argumentem liczby zⁿ .

(cos9+isin9)ⁿ =cosn<fH-isinn9 z ⁿ =|z|ⁿ (cosn9+isinn9)

Twierdzenie

Jeżeli z*0 i z=|z|(cos9+isin9), to jest zbiorem 11-elementowej postaci:

i»/7 = q/fzi(cos^<p+2tar+ts\n^^+2kru)_; k=0,l,2,...,n-l n    n

Tw ierdzenie Bezouta

Jeżeli z o jest miejscem zerowym wielomianu p, to wielomian ten jest podzielny przez dwumian z-zo i odwrotnie, czyli p(z)=0 <=> (z- z o )|p(z).

Twierdzenie d’Alamberta

Każdy wielomian w dziedzinie zespolonej stopnia n>l ma co najmniej jedno miejsce zerowe.

Wielomiany w liczbie zespolonej Twierdzenie

Jeżeli liczba zespolona z o jest pierwiastkiem wielomianu p o współczynnikach rzeczywistych, to również pierwiastkiem tego wielomianu jest liczba sprężona z o. Funkcje wymierne Twierdzenie

Każdą funkcję wymierną właściwą ^ można przedstawić w postaci sumy pewnej liczby ułamków prostych, przy czym: