82154

str 2

W6/7

Zadanie znajdowania funkcji aproksymacyjnej F_m sprowadza się do znalezienia minimum funkcji (m+1) zmiennych. Poszukiwane wartości współczynników wyznaczamy z warunków zerowania się pochodnych cząstkowych

^-n.-2-y

^aa<

»- X ^a»+jM

j=o

♦kM "°

k^O, 1,... ,m

Powyższe równości tworzą układ (m+1) równań liniowych z (m+1) niewiadomymi a^, a,,..., a_m zwany układem równań normalnych

Ga-b,

gdzie G = [G_y] (ij = 0,1,, m), a = [a^ a,,..., a,,, ]^T, b = fb* b,,..., b_m ]^T,

n    n

(‘0 “ ’ ^m>-

k = 0    k =0

Macierz G, zwana macierzą Grama, jest macierzą kwadratową stopnia (m+1).

Można zapisać

G = MTM i b = M^Ty,

gdzie y - [y„, y,,..., y_n F >

'♦oW ♦lW • • ♦m(^xo)^>

<>o(^xi) »l(^xi) • • *m(^xi)

M = 1

(_>^o(^X«) ^ll*") • • ^m(^Xn)_<;

Uwaga. Macierz G jest nieosobliwa wtedy i tylko wtedy, gdy rząd macierzy M jest równy (m+1).

Stąd wynika, że

Twierdzenie. Jeżeli rząd macierzy M jest równy (m+1), to istnieje dokładnie jedna m-ta funkcja optymalna (w sensie aproksymacji średniokwadratowej dyskretnej).

Błąd średnioknadratowy oblicza się ze wzoru

(k-fW)²