82323

<Xf

2. Szereg Y ~r rozbieżny.

n=l ^v

Dowód:

oc

1.    W przykładzie 4.2 wykazaliśmy, że szereg Y ^77 jest zbieżny. Ze względu na to, że (V n € A'*) _(f> ^3 ^ 7F~7i możemy stwierdzić, dzięki kryterium po-

-X.    1    00

równawczemu. że szereg Y , , _nł j«st zbieżny. Rożni się on od szeregu Y 7*

' n=l'^I;    «=1

tylko jednym wyrazem, a więc ten ostatni jest w świetle uwagi 4.1 również zbieżny.

2.    Marny (V n € N) J ^ ^ . Szereg Y „ jest rozbieżny, a więc szereg Y ^ jest też rozbieżny.

Twierdzenie 4.3 (Kryterium całkowe zbieżności (rozbieżności) szeregów)

Nich funkcja f będzie nicujcmna oraz nierosnąc/i na przedziale < 7^,00), gdzie

X

7/0 6 A . Wówczas szereg Y f(ⁿ) i całka niewłaściwa f* f(x) dx są jednocześnie

ll »0

zbieżne lub rozbieżne do oc.

Uwaga 4.3 Reszta szeregu, łj. wi/rażcnie R_n = Y f(k). spełnia oszacowanie:

k n 11

f f(x) da ^ R_n ^ f /W dx

Jn—1    Jn

Przykład 4.7 Korzystając z kryterium całkowego zbadać zbieżność podany dr szeregów:

«)E

„=i»lnn

CE

- ir

1-1

n^l ⁿ In² n

_t oo

Zajmiemy się teraz szeregiem Y 77 zależnym od parametru s.

Tl 1

00 I

Twierdzenie 4.4 Szeryf Y « jwk n=l

a)    zbieżny, jeśli $ > 1 ;

b)    rozbieżny, jeśli $ ^ 1 .

11