88450

Obliczyć pole powierzchni bocznej bryły, powstałej z obrotu łuku krzywej y = tg x, 0 ^ x < TC / 4

Zadanie sprowadza się do obliczenia całki oznaczonej: ^2jr

Sposób pierwszy. Stosujemy podstawienie ^{t = t}S*. Wtedy x = arctgr, c

Tak więc

f tgx/l + dx. J V cos x

x = arctgr, dx = —?-^-dr,cos² x =-' -—,—!_ =(i+t²)²

1 + t²    l + tg²x cos⁴x

*!• I-j-    1    _ ,

2n f tgx,|l +—3—</x = 2^ftJl+(l + t²)²-_Tdt

J V cos x    ;    1+r

Z kolei podstawienie i+f² =u.2idt =dudaje

tr"[\/l + u² irfu = ;rf\/l + u²

,    ^u    i    ²²

Stosując tu z kolei podstawienie i+u² =z,2udu=dz.u² =i—z otrzymujemy — f —— dz ={Vz = w,z = w², dz = 2w(iw} = jt f —^—dv/ = n f f 1h——— \łw =

2 i^{z —}1    Al ^w "U

zif(Vs—

= XV5-^)a-lln L^l^AłŹ.¹/ j)

lub, przy nieco innych przekształceniach,

^₍V5-V2)-lni^rM2^±l)].

Sposób drugi. W wyjściowej całce stosujemy podstawienie w = Jl+- *₄ ■, co d;

V2) + -ln

2 VŚ+1 V2-l^-l,/2+l

]

(\/5-1)(V2 +1)'

W² +1 =

= W² -1,

4cos³ xsin xdx =

2 w

cos x cos x

(w²-!)²

dw

Vs

Tak więc szukana całka sprowadza się do całki 2ir identycznej jak ostatnia całka w sposobie pierwszym.

w(w² — 1 )d\v _t