3784490804

10

M. Brodzkl, J. Walczak

Problem zdefiniowania zbioru funkcji prawie okresowych, o określonych wyżej własnościach, tworzącego przestrzeń Hilberta, został rozpatrzony poniżej.

3. Konstrukcja przestrzeni Be9icovltcha - Sobolewa BS₂ ^

o

Oznaczmy przez    zbiór funkcji rzeczywistych zmiennej rzeczywis

tej o następujących własnościach:

1.    Funkcje te sę mierzalne w sensie Lebegue^#a na osi liczb rzeczywistych R.

2.    Funkcje te posladaję na każdym przedziale domkniętym 1 ograniczonym <^ak l b^> e R, k e N całkowalny kwadrat w sensie Lebesgue'8.

3.    Ola funkcji tych istnieje skończona granica:

T    T

lim 9Up — f f^(t) dt w lim — f f^(t) dt ^ ⁰⁰    (4)

T-^oo    ^J    T-^oo    ^

2

W zbiorze    wprowadza się strukturę przestrzeni liniowej nad ciałem

liczb rzeczywistych R , przyjmujęc klasyczne definicje:

c

rzeczywistej, rzeczywistej przez liczby

rowadza się normę określone

-    dodawania (+) funkcji rzeczywistych zmiennej

-    mnożenia (.) funkcji rzeczywistych zmiennej rzeczywiste.

2

W przestrzeni liniowej    ^Rc •    •) wp

wzorem 1

i wykazuje [9“}₉ [lo], że przestrzeń unormowana «*i •    <1    !>•

oznaczana w dalszym cięgu przoz    • Jest zupełna.

Przestrzeń ta w literaturze nosi nazwę przestrzeni Marcinkiewicza [9] i oznacza się ję symbolem M.

Niestety, wymieniona przestreoń Marcinkiewicza nie Je6t przestrzenie Hilberta (por. np. [9]]), z uwagi na nieistnienie w niej iloczynu skalarnego zgodnego z normę (5). Z tego powodu niemożliwe jest zdefiniowanie po-

o

jęcia mocy czynnej dla elementów przestrzeni    . Zachodzi więc konieczność konstrukcji pewnych podprzestrzeni przestrzeni    , w których:

-    możliwe Jest zdefiniowanie pojęcia mocy czynnej,

-    możliwe jest określenie pewnych cech gładkościowych elementów tych pod-przestrzeni (por. rozdz. 2).